Question

ももももも

Σ(an±bn)の正しい証明の仕方を教えていただきたいです。
また、先程の間違いを指摘していだだけると助かります。

無限級数

Answer 1

✨ Best Answer ✨

哲治

まず君の答案は高校が１００人いたらほぼ１００人全員やる誤答例なんです。
実は「有限」の世界ではあたり前のことから「無限」の世界では全く成立しないんです。
つまり無限級数の和を考える時に、「和の順序交換」や「結合法則」(カッコを勝手につけたり、カッコの位置変更はできない)は一般には成立しないんです。
だから君の答案は１００％の間違いで部分点もない完全な０点となります。
正しくは、君の答案のシグマの上を∞ではなくてnとして、第n項までの部分和とします。
nがどんなに大きな数でも有限であればもちろん和の順序交換できるので両辺が等しいのは自明ですね。
その上で両辺の極限を取るという操作を考えると証明したかった結論が得られます。
高校レベルだとあまり厳密な議論はできないのですけれども、これ位を理解してればとりあえずいいです。

ももももも

すみませんが、なぜ一般的な法則が無限だと成り立たないのか少し腑に落ちません

哲治

君が「一般的」と思ってるのは君が「有限」の世界しか知らないからに過ぎません。
具体例がヤフー知恵袋から引用しておきました。

哲治

これ以上は高校レベルでは説明不可能です。
なぜなら高校数学には「極限」の概念がないからです。
とは言え気になるとは思いますので、完全に大学数学の内容ですけれども、関連記事をアップしておきます。
雰囲気だけでも味わってください。

哲治

続き。

哲治

さらに

哲治

こんな感じになります。
詳しく知りたければ大学で解析学の初等的な講座を受講してください。