Question

にょにょ

(1)がどうしてこういう解答になるのか分かりません。特に1番に最初の条件より、からの式が何故こうなるのか分かりません。

238/次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を, bn=an+1-anとおくこ
(86 とにより求めよ。
*(1) a:=1, an+1=2an+n-1
(2) a=1, an+1=3an+4n

238 (1) 条件から
an+2=2an++1 +1
an+1=2a,+n-1
an+2-Qn+1=2(an+1-a,)+1
ba+1=26,+1
辺々を引くと
-an+1=
= 2(an+1-a)+1
b,=an+1-Q, とおくと
これを変形して
ここで, ag=2aj+1-1=2であるから
n+1
n
b」+1=(a2-
よって, 数列 (bm+1} は初項 2, 公比2の等比数
a)+1=(2-1)+1=2
列であるから
22
b,+1=2-2*-1=2"
すなわち
6,=2"-1
数列 {b,)は数列 {a»}の階差数列であるから,
n22のとき
n-1
an=a;+2(2k-1)
k=1
2(2"-1-1)
ー(n-1)=2"_1n
ニ
2-1
初項は a」=1であるから,この式は n=1のとき
にも成り立つ。
したがって
a,=2"_n
万