Question

Y.M

数Ⅲ複素数平面の問題についてです。
字汚くてすいません
(1)を青チャとは違う方法で解いたのですが、これではやはりnが最小値の自然数だとは決まりせんかね？
よろしくお願いします

38
重要 例題18 累乗
要守
1+i
ア=ーeとするとき
13+i
B=
V2
1+
a=
2
(1) a"=yとなるような最小の自然数nの値を求めよ。
)方程
のを求めよ。
n,mの」
式の形に直し,絶対値と偏角を比較 する。
程式が導かれるから,その自然数解について考えていくことになえ
答
1+
1y=-aのとき
1-
argy=argat
解答
ア=COS-ェ+isin
6'
ー+isin-であるから,
7.
6
Tπ
Aド·モアブルの限
(cos0+isinここ
(1) α=cos+isin
7
-π十isin
6
nπ
=COS
nπ
tisin
6
COS
6
=coS n0+isin
4偏角を比較。
a"=yより
n=7+12k
7
-π+2kr (kは整数)
nπ
よって
6
6
n=7
求める最小の自然数nは, k=0 のときで
π
π
(2) B=cos-+isin-であるから, α"B"=yより
mT +isin
COS
4
7
=cos-元+isin
4
7
Tπ
6
nπ
mπ
nπ
COS
6
+isin-
|(cosα+isin)
×(cosβ+isin
=Cos(a+}+i
6
c+si(+)カーcos 5オ+ising
よって(+=+2km (kは整数)
m
m
7
COS
=D COS
6
-π十isin
Tπ
6
m_7
4
4偏角を比較。
ゆえに
2n+3m=14+24k
1, mは自然数であるから, ① より
のを変形すると
2と3は互いに素であるから, n-7=131, m-8k=21
(1は整数)と表される。よって n=7-31, m=21+8k
nは自然数であるから 7-31>0
k20…
2(n-7)=-3(m-8k)
2
kS-1のとき
14+24k<0
ここで
n+mが最小となるのは、 ②, ③からk=0 かつ!=2のとき
a, bが互いに無
6の倍数ならば、
倍数である。
(a, b, cは整
n+m=(7-31)+(21+8k)=7+8k-
ゆえに S2
すなわち(n, m)=(1, 4) のときである

No.
Date
x"=- e
2
X"+ x20
a (xtltl=o
&キo で利か
antt120
よ?ぐ=-
ここ2
X= kt?
ニ
2
2
2
-6s +isin であるから
CA)た
at= cos(hーリ で
6
+25.h.
a"=- となるのは
taり花
のとき
6
ん-1= 6
ん=
よって

Answer 1

✨ Best Answer ✨

はん

概ね合ってますが、唯一青チャと違う点は、Y.Mさんの回答の下から3行目の部分でπの時と限定してしまってるところです！
そこでπ+2kπとできれば式を整理すると青チャと全く同じ式が出てきます！

Y.M

ありがとうございます！