Question

烏龍茶

この問題教えてください

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第12章 微分法·積分法
重要例題50)接線の本数
曲線y=2x°-3x を Cとする。C上の点(a, 2aー3a)におけるCの接線の方
程式は y=(ア ad- ウ)x-
|
ェ a回である。 この接線が点(1, b) を通
るのはb=[カキa回+ ケ a回ー「サが成り立つときである。
したがって,点(1, b) から Cへ異なる3本の接線が引けるのは
シス」く6<[セソ」のときである。
POINT!
3次関数のグラフの接線の本数
→点(a, f(a)) における接線が満たす条件を求め, その条件を満たす
接点の個数が接線の本数に等しい。
(→重49)
車
十
解答 ゾ=6x°_3
よって,(a, 2a°ー3a)における接線の方程式は
ソー(2α°-3a)3 (6a'-3)(x-a)
すなわち y=(76a'2-ウ3)xーエ4a'
点(1, 6) から引いた接線
→点(a, 2a°-3a)にお
ける接線が点(1, b) を通
る,として考える。
→基89
ァする
この接線が点(1, b) を通るとき
b=(6a°-3)-1-4α°
b=カキー4a3+ケ6a"2_サ3
点(1, 6) から曲線Cへ異なる3本の接線が引けるのは, a
の方程式Dが異なる3つの実数解をもつときである。
したがって,f(a)=-4α°+6a°-3とおくと, y=f(a) のグ
ラフと直線y=bが異なる3つの共有点をもてばよい。
f'(a)=-12a°+12a=-12a(a-1)
ク
よって
の
1)330
0 (x)
一接線が3本
→接点が3個
→0の実数解が3個
→ y=f(a)と y=bの
共有点が3個→重49
注意) 4次関数のときは,
下の図のような場合もある
f(a)=0 とすると a=0, 1
また f(0)=-3,
f(1)=-4·1°+6·1°-3=-1
f(a)の3次の係数は負であるから,
ソ=f(a)のグラフは右の図のように
なり,y=f(a) とy=bが異なる3っ
の共有点をもつとき
シスー3く6くセソー1
から
0 1
接線の本数=接点の個数
とはいえない。
a
ソ=Db
-3
|ソ=f(a)
X

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ゲストp

どの辺がわからないのでしょうか？

烏龍茶

真ん中の赤字からわからないです。

ゲストp

(a,f(a))はC上の接点の座標ですね？
また、①は、(a,f(a))を接点とし、(1,b)を通る接線の方程式です。
(接線の本数)=(接点の数)より①を満たすa(Cの接点のx座標)が３つないと3本接線を引けません。　

烏龍茶

ありがとうございます
やっと理解できました