Question

jaru

２枚目の赤線部についてです。
こうなるのは何故ですか？

円C:°+y°=4 と直線1:y=ar+2-3a の位置関係をaの
64
基礎問
40 円と直線の位置関係
値によって,分類して答えよ。
円と直線の位置関係は, 次の3つの場合があります。
I.異なる2点で交わる
II. 1点で接する
I.共有点をもたない
これらを区別するための道具は,
精講
「判別式」か「点と直線の距離 (→34)」
です。
一般的には,次の表のようになります。
(C:°+y°=r?と1:y=mx+n の位置関係)
Cと1からyを消去した式
(1+m°)r°+2mnz+n°-r=0
ングルわ
の判別式をDとする.また, Cの中心 (0, 0) と 1の距離をdとする。
(0,0)
A。
(0,0)
(0,0)
D>0
D=0
D<0
d<r
d=r
d>r
解 答
(解I)(判別式を用いて)
|+y=4
1y=ar+2-3a
より,yを消去して,
+(ax+2-3a)。%34
判別式をDとすると
*(1+a°)+2a(2-3a)z+9α°-12a=0

65
D-a(2-3a)?-(1+a^)(9α°-12a)
=-5a°+12a=la(5a-12)
12
(i) D>0, すなわち, 0<a<-
のとき,Cとしは異なる2点で交わる。
12
のとき,Cと1は接する。
(i) D=0, すなわち, a=0,
5
12
-<a のとき, Cとしは共有点をもたな
() D<0, すなわち, a<0,
5
loり
aメ-4+2-3a-0
い。
(解I)(点と直線の距離を考えて)
12-3al J
Va+1
円の中心(0, 0)と1の距離をdとおくと,d=-
139
12-3a|しよ。
Va+1
<2 のとき、4-12a+9a2
c4
(i) d<2, すなわち,
04|
両辺を平方して、 9a°-12a+4<4a'+4
: a(5a-12)<0
12
よって, 0<a<-のとき, Cと1は異なる2点で交わる.
12
(i) d=2, すなわち, a=0,
のとき,Cと1は接する.
5
12
() d>2, すなわち, a<0,
-<aのとき, Cとしは共有点をもたない。
5
注 一般に「判別式」より「点と直線の距離」の方が計算量が少なくて
すみますが,交点や接点の座標を求めるときには,かえって不便です
ので注意してください。
ポイント
円と直線の位置関係は. 次の2つの手段のどちらか
I.連立させて半判判別式を使う
II.「点と直線の距離」 の公式を使う
第3章