Question

まふゆ

この問題において解と係数の関係は何のために使っているんですか？
また、このように解と係数の関係を使った考え方は覚えて使えるようにしておいたほうがいいですか？

実戦問
UB 絶対値記号を含む関数のグラフと面積(2)
関数 f(x) = |x"+x-2|+x について
) y=S(x) のグラフは, 放物線 y= x"+アx-イのx<ウエ
放物線 y=カ
|オ]Sx の部分と、
ウェ]<x<オ]の部分をつなぎ合わせた曲線である。
x+| キの
(2) 田線 y=(x) と放物線 y= x°+ アxーイで囲用まれた図形の面積Sを求めると、 S=[ク」である。
(3) tは
エ」くくLオ」を満たす実数とする。曲線 y=f(x) 上の点P(t. f(t)) におけるこの曲線の接線の力性
y=[ケコtx+1
シ
である。この接線と曲線 y=f(x) で囲まれた図形の面積Tをtを用いて表すと
|ス
T=
ッ」
(V ソコ+ タt+ チ」
セ
テ」
トナ土ニヌ」
となる。したがって, T=
71
となるとき,t=
6
である。
ネ
解答
(1)(i) x°+x-220 すなわちょS-2, 1<xのとき
f(x) = (x°+x-2)+x=x°+2.x12= (x+1)}-3
+x-220を解くと
(x+2)(x-1) 0 より
xS-2, 1Sx
(i) x°+x-2<0 すなわち -2<x<1 のとき
f(x) = -(x°+x-2)+x= -+2
49
ソ=f(x)
(2) y=ーx°+2 (-2<x<1) と y=x°+2x-2 で囲まれた図形の
面積を求めればよいから
2
-1
-24
O1
- +2x-2)dx
=-2+1--2-{-青+
S=
-2
=9
6
(3) -2<x<1のとき,f(x) =ーパ+2 であるから f(x) = -2x
よって,点P(t, -ピ+2) (-2<tく1)における曲線 y=f(x)の接
yー(-+2) == -2t(x-t)
線の方程式は
y= -2tx+t+2 (-2<t<1)
この接線とy= x°+2x-2 の交点のx座標は,2つの方程式を連立
ゆえに
ソ=f(x)
して
2°+2x-2=-2tx+t°+2
-2
すなわち, x+2(t+1)x-ピー4=0 の異なる2つの実数解である。
これらを a, B (α<1B) とすると, 解と係数の関係により
a+B=-2(t+1), aβ= -t?14
(B-a)° = (a+ B)°- 4aB
0
-2
ゆえに
= 4(t+1)°-4(--4) =D 4(2f° +2t+5)
2°+2t +5
B-a=2,2° +2t+5
B-a>0 より
したがって,求める面積Tは
>0
三
ey1
T=| {-2tx+ピ+2)-(ピ+2x-2)}dx-S.
~B
-1+21+1)x-ピ-4da-9
T=
-- (x-a)(x-)dx-9= (B-d-9
(2F+24 +5)°-9
=
ニ
125
5
自 (/2r°+2t +5)3 ()より
3
71
となるとき
((2°+2t +5)
T=
8
6
5
2+2t +5 =
2
25
より
2°+ 2t +5=
8t°+8t -5 =0
4
-2±/14
t=
-2<t<1 であるから
4
5章微分と積分
う。
II

Answer 1

✨ Best Answer ✨

かき

画像貼りますね。
解と係数の関係を使えば、積分のとき計算が楽になるんです！
一般に、1/6公式とか呼ばれてます。

まふゆ

遅れてしまい申し訳ありません💦💦
助かりました！！ありがとうございます🙇‍♀️

かき

いえいえ。よかったです❗️
またどうぞ。