Question

ほの

数学的帰納法の問題についてです。
式変形のところで、
k/(k+1)(k+2)≧0
とありますが、kは自然数なので
k/(k+1)(k+2)>0
だと思ったのですが違いますか？

数学的帰納法の
70.
全ての自然数nに対して, 次の不等式が成り立つことを示せ。
1
1+
2
1
1
2n
3
n+1
[]n=1.のとき。
左山 = 1, 右迎
た2方0 1よっで、ゆ1のとき(水)は成止2。
-| リ
よ)、
[2] n-k (h70)のとき、 (木)が成り立っと後定する。
自然数だから良>0.
1
とでわ1のとき
3
たロ一友皿=143すせ
この式を利用する。
+てR1-B)
2At2
1At2
4
同にちつ、
l
20
7.た辺と方足となり、 nk+1のときも(*)が
フ成上する。
2まり、数学的帰納法から
すべての自然数に対いて(水)の成立する。

Answer 1

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ブラッキー愛好家

あってます。=はつきません。

ほの

そうなんですね！
ではその式の部分をまとめると、
左辺－右辺 ≧ k/(k+1)(k+2) > 0
ということですか？

また、最後の>0をつける理由としては、
左辺－右辺 ≧ k/(k+1)(k+2)
が符号逆転せず常に≧の関係が成り立つことを示すためで合ってますか？
質問多くてすみません🙇‍♂️

ブラッキー愛好家

すみません。問題と解答全体をよく見ずに解答してしまいました。
今回、問題では≧であることを証明しなければならないので、≧が必要です。
先程の式はk>0のとき0になることはないのですが、証明が必要な命題には≧であると記されています。

<また、最後の>0をつける理由としては、
左辺－右辺 ≧ k/(k+1)(k+2)
が符号逆転せず常に≧の関係が成り立つことを示すためで合ってますか？

はい。その通りです。常に成り立つことが証明できれば、kがどんな値をとっても不等式が成り立つことを示すことができます。

ブラッキー愛好家

ちょっとわかりにくいですね。
例えば、3という数は3>0を満たしますが、同様に3≧0も満たします。

ほの

私が思う'≧'の意味だと、
3≧0は
3>0または3=0
3=0は成り立たないので、3≧0は満たしていないのではないかと思ったのですが、そういうものなのでしょうか？

ブラッキー愛好家

命題で表してみます。
「x>0ならば、x≧0」は真。
「x≧0ならば、x>0」は偽。（反例:x=0）
これでイメージできますか？

ほの

なるほど！
すっきりしました。
全ての質問に丁寧に答えていただきありがとうございました🙇‍♂️

ブラッキー愛好家

いえいえ！納得できたようで良かったです！

ほの

度々すみません、、
確認ですが証明の式変形の部分をまとめると、

左辺－右辺 ≧ k/(k+1)(k+2) ≧ 0

ということで大丈夫ですか？

ブラッキー愛好家

はい。それが成り立つのなら、（左辺）-（右辺）≧0となるので、（左辺）≧（右辺）が成り立ち、証明が完了します。

ほの

理解しました！ありがとうございました🙇‍♂️