Question

さのすけ

黒い下線部がなぜこのような不等式になるのか分かりません。教えて欲しいです🙇‍♀️

以上から
T. 1og xdx<log k <)。
k-1
(2) n"e-"<n!<(n+1)*+le-".. ① とおく。
[1] n=1のとき
4
1'xe-l=-, 1!=1, 2'e-!=-
e
e
<1くであるから, ①は成り立つ。
[2] 22のとき, (1) で示した不等式で, k=2, 3, , n として
加えるSgrdr+ , ogrdat J. ogrdx
3
加える1og xdx+ 1og xdx+
2
<log2+ log3 + +log n
4
n+1
<log xdx+
-| log xdx+
+ logxdx
2
3
n
n+1
よって| 1og xdx<log(2-3… 1) <
< log xdx
2
2
ここで Sgrda=[alogs -]=nlogw-n+1,
(= xlog x
x| = nlog n-n+1,
S"ogeda-[dogrー=]*
n+1
dx=[
2+1
xlog x -
12
=(n+1)log(n+1) - (n+1)-21og2 +2
よって, ② は nlog n -n+1<log (n!)
く(n+1)log(n+1)-n+1-log4
さらに, nlog n -n<nlogn-n+
(n+1)log(n+1)-n+1-log4 <(n+1)log(n+1)-n
であるから nlogn-n<log(n!)く(n+1)log(n+1) -n
よって log (n"e-") <log(n!) <log{(n+1)*+le-"}
ゆえに "e-"くn!<(n+1)"+!e-m
したがって, Oはn>2のときも成り立つ。
以上から,すべての自然数 n について, ① が成り立つ。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ブラッキー愛好家

積分区間がつながっていて関数が同じものであればまとめることができます。これを利用しています。

さのすけ

ご回答ありがとうございます。

赤いペンの部分ではなくて、黒い傍線部の部分についての質問なのですが、こちらも積分区間に関するものを利用しているのでしょうか？

ブラッキー愛好家

すみません！勘違いしてました💦

画像のマーカー部分は同じものです。1-log4=loge-log4<0なのでこの不等式が成り立ちます。

ブラッキー愛好家

画像添付し忘れてました

さのすけ

なるほど！
丁寧にご説明くださりありがとうございました😊