数学1の問題です。
関数P=x^2-6xy+10y^2+4y-7の最小値を求めよ。
最小値をとる際のxもしくはyの値も示すこと。
解答は、x＝-6、y＝-2のとき最小値-11です。
解き方や途中式をお教えいただけると嬉しいです。
よろしくお願いします🥲
✨ Best Answer ✨
【解き方】
まず、x について平方完成する。
その後、y について平方完成する。
(順番はどちらでも良いが、どちらを選ぶかで作業量が若干変化することがある)
【解答】
P ＝ x²－6xy＋10y²＋4y－7
＝ {(x－3y)²－9y²}＋10y²＋4y－7
＝ (x－3y)²＋y²＋4y－7
＝ (x－3y)²＋(y＋2)²－11
よって、最小値 －11
このとき、x－3y＝0、y＋2＝0
解いて、x＝－6、y＝－2
y＝ax²＋bx＋c (1変数：変数は x) の x, y とは違うものと考えます。
※ この問題では、x, y が変数である、2変数関数の問題です。
「y 軸で －2 をとる」という考え方は、余計ややこしくなるだけなので、考えないようにすべきです。
お早いお返事ありがとうございます！
理解できました…！
また、よろしくお願い致します☺️
関数Pは2次式ですから描くグラフは二次関数になります。ただし、今回の場合変数が二つあるので注目すべきところを分けて考えると分かりやすいと思います
丁寧にお教えくださってありがとうございます🥰
問題解けました…！
ありがとうございました☺️
また、機会がありましたらよろしくお願いいたします…！！
P=x²-6xy+10y²+4y-7
二次関数のグラフみたいに考えましょう。
平方完成をすると
P=(x-3y)²+y²+4y-7
x=3yのとき最小値y²+4y-7となる。
x=3yよりy=x/3なので、代入すると
x²/9 +4x/3 -7となり、これも同様二次関数のグラフとして考える。平方完成すると、
x²/9 +4x/3 -7=(x+6)²/9 -11となる。
したがってx=-6のとき最小値-11である。
またx=3yなので、
y=-2
以上よりx=-6,y=-2,最小値-11
二次関数のグラフとして考えると簡単になりますよ
詳しくお教えいただきありがとうございます☺️
解説拝読させていただきました！
二次関数のグラフとして考えること理解しました😊
また、機会がありましたらよろしくお願い致します…！
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丁寧な説明ありがとうございます☺️
拝読させていただきました！
この問題のxやyは、 y＝ax^2+bx+cのxやyとは違う意味で、ただの文字と理解して大丈夫でしょうか…？
答えでx＝の時とy＝の時が出ていますが、Ｙ軸で-2を取るという意味とは違いますか？
（最小値にてＹ軸-11だと理解しているため、Ｙ軸が２つになる…？となってしまってそこがわかりません🥲）
質問が分かりにくい文になってしまいました🥲
もし分かりにくければ、もう一度言葉を変えて質問させてください！
よろしくお願いします…！