✨ Best Answer ✨
24は2³×3なので、n²-1が3でも8でも割り切れることが証明出来れば良いです。
(i)まず3で割り切れるかどうかを確認します。
nは3で割りきれないので、合同式を使って
n≡±1(mod3) と表せます。よって、
n²-1≡(±1)²-1=0(mod3)となり、3で割り切れることは分かりました。
(ii)つぎに、8で割り切れるかどうかを確認します。
nは奇数なので、8で割った余りは1か3か5になります。なので、それぞれ場合分けして見ていきます。
(ii-1)n≡1(mod8)のとき、n²-1≡1-1=0(mod8)
(ii-2)n≡3(mod8)のとき、n²-1≡9-1=8≡0(mod8)
(ii-3)n≡5(mod8)のとき、n²-1≡25-1=24≡0(mod8)
以上より、n²-1は全ての奇数nにおいて8で割り切れることが分かりました。
(i)(ii)より、nが3で割りきれない奇数の時n²-1は3×8=24で割り切れることが証明出来ました。
<訂正>
すみません。8で割って余りが7になる時をすっかり忘れてました。正しくは「nが奇数の時、8で割ったあまりは1か3か5か7になります。」でしたね。また、(ii-3)の下に以下の文も入れてください。
(ii-4)n≡7(mod8)のとき、n²-1≡49-1=48≡0(mod8)です
<返信>
8で割って商がa、余りがbの数nを式で表すと、n=8a+bになりますよね。
このとき、8aの部分は絶対に偶数なので、b、つまり余りが偶数の時はnは偶数になり、奇数の時はnも奇数になるっていうふうに考えると導き出せます。
ありがとうございます！！理解しました✨
ありがとうございます！
8で割った余りが1か3か5になるっていうのはnに自分で具体的な数字を置いて求めるのですか？