Question

Hi（受験生）

p≠0だから、①が成り立つのは納得なのですが、
なぜ②は＝0だと言えるのですか？

例題46 次の2つの条件を同時に満たす2次関数f(x) を求めよ。
[] 任意の1次関数g(x) に対して(x)g(x)dx=0
[2](x)dx=1
f(x)=ax°+bx+c とおいて, 2つの条件からa, b, cを決定する。
[1] g(x)= px+qとして定積分を計算する。か, qについての恒等式と考える。
f(x)=ax?+bx+c (aキ0), g(x)=D px+q(カキ0)とおく。
指針
解答
Sircx)g(x)dx=\,(ax+bx+c)(px+q)dx
=か(ax°+ bx?+cx)dx+q\(ax°+bx+c)dx
b
C
b
a
=か
+q
2
三
3
3
2
よって, [1] から, 次の等式が任意のp(カキ0), qに対して成り立つ。
b
b
a
+q
a
4
3
3
2
-0 0. 3+号+c-0
b
a
の
C
2
a
ゆえに
2
4
2
S(x)dx=_ (ax*+ox+c)dx=←a+2c
よって, [2] から
-a+2c=1
3
a=1, b=-1, c=-(これは aキ0 を満たす)
6
1
①~
③を解いて
したがって
f(x)=x°-x+- 答

Answer 1

✨ Best Answer ✨

らい

p≠0だからでもありますが、今回はp,qが任意の実数というのが肝です。
任意の実数で成り立つには、p,qを含まない部分が0になる必要があります。

Hi（受験生）

p≠0は勿論、qは任意であるため0であるかもしれないし、0でないかもしれないから、②も成り立つということですか？

らい

あるかもしれないというよりは、0でない時も成り立たないといけないし、0の時も成り立たないといけない、です

Hi（受験生）

成程、ありがとうございます。。