Question

そう

3次関数のグラフについてです
写真1枚目のように式を因数分解してx軸との共有点を求めるところまでは分かりますが、そこからグラフの形が書けません。極値を求める必要がなくても増減表を考えればいいんですか？
(写真2枚目は1枚目に書いてある321ページです)

(1) 曲線ソ=x3-2x°-x+2 と×軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(2) 曲線y=x°-4x と曲線 y=3×°で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
((2) 東京電機大)
基本 235,236
指針>3次曲線(3次関数のグラフ)であっても,面積を求める方針は同じ。
D グラフをかく
まず、曲線とx軸,または2曲線の交点のx座標を求める。
2 積分区間の決定
3 上下関係に注意
解答
(1) x-2x?-x+2=x°(x-2)-(x-2)=(x?-1)(x-2)
|2
よって,曲線とx 軸の交点のx座標は
したがって,図から*, 求める面積は
x=±1, 2
S=\_(x°-2x?-x+2)dx+\{-(x°-2x°-x+2)}dx
-1
0
1
2
X
-1
1
=2\(-2x°+2)dx-\(x°-2x°-x+2)dx
(*)曲線の概形については,
p.321 参照。ここでは,極
.3
1
|2
+2x
2
=2-:
+x
3
3
3
値を求める必要はない。
--+-番
8
2
13
37
3
3
12
12
Tx.

3次関数(x)=ax°+bx?+cx+dについて,その導関数は
x)=0 すなわち 3ax"+2bx+c=0 の判別式をDとすると
「D D>0 ならば, F(x)=0 は異なる2つの実数解をもつ。その解を α, B (α<B)とす
tv)
目と 3次関数と極値
め
f(x)=3ax?+26bx+c
D
=ポ-3ac
26
C
aB=
3a
3g'
[a>0のとき]
[a<0のとき]
X
B
x
Q
B
f(x)
0
0
f(x) 極大 極小 )
f(x) 極小/極大
D=0 ならば,f'(x)=0 は重解をもつ。その重解をαとするとa=-
b
3a
このとき、f(x) はaと同符号または0である。よって,極値をもたない。
121 D<O ならば、,f(x) は常にaと同符号である。よって,極値をもたない。
]~[3]をまとめると,次の表のようになる。
D
D>0
D=0
D<0
f(x)=0 ||2実数解 α, B(α<B)
重 解 a
虚 数 解
極値
極値がある
極値がない
極値がない
Y4 f(x)20
単調増加
Y4 f(x)>0
17
M
単調増加
極
a>0
b B
3a
0
0
b
a=
3a
x
b
3a
x
f(x)S0
単調減少
f(x)<0
単調減少
a<0
極
小
0
b B
0
b
b
3a
a
x
x
0
x
3a
3a
また、3次関数の性質として,次のことも重要である。
0極値をもつ→f (x)=0 が異なる2つの実数解をもつ
2極値をもつ→極大値と極小値が1つずつ
また
(極大値)>(極小値)

Answer 1

✨ Best Answer ✨

sin theta

面積を積分で求めるので，曲線とx軸の上下関係さえわかればグラフを正確に書く必要はありません。