Question

🤪くまさん🤪

3枚目の写真の矢印のようになる理由が分からないです。お願いします

4, bを実数の定数とし, f」(x) =ax+bとおく。これを出発点にして,n=D1, 2, 3,
…に対して順に, xfn(x) を(xー1)?で割ったときの商をc.. 余りをf.
本の料回 ケア
+1(x) と定義す
る。
(1) f,(x) を求めよ。
(2) xキ0に対して次の等式が成立することを示せ。
大 3008
(xー1)2-(- こは
fa(x)
ふts
k=1 X

(解説)
()ナ(x)は1次式または定数であるから,fm(x)=a,*+b»とおける。
このとき
x(a,t+b。)= ca(x-1)?+an+1*+bn+!
がxの恒等式となるから, 両辺の係数を比較して
an=C b=-2cm+an+1, 0=cn+bn+1
0
よって
b+1=-a, a,+2=2an+1-am
この2番目の等式からa2-an41=4n+1-Qn が成り立つから, {an}は等差数列であ
る。
ここで
4=a, a2=b,+2cj=6+2aj=2a+bハ=
Q2-a=a+b
a,=a+(n-1)(a+b)=(a+b)n-b
会
るより 関
よって,公差は
ゆえに
したがって、n>2のとき
b,=-an-1=-(α+b)(n-1)+b
=ー(a+b)n+a+26
b」=bであるから,この式は n=1のときも成り立つ。
3-+国=
3D + く
ニ
k立知 (x)ホ%3D(
よって
f。(x) = {(a+b)nーb)xー(a+b)n+a+26
(2) Ca(x-1)°=xfn(x) -fn+1(x) であるから
ちOI220
%3 ()

(x-1) () \fat(x) m2"
xk-1
CR
fa+1(x)
141
-k=1, 2, 3, ……, nを代大ビて,,辺々を加えると
9
Ck
fn+1(x)
n
I-)(x-1) =V(x)
を=1 xk
x"
よって,与えられた等式が成り立つ。

数学 数列 シグマ

Answer 1

✨ Best Answer ✨

up in the air

すみません、言葉足らずでしたので書き直します。階差型になっているので代入すると消されて最初と最後が残るってことです！

🤪くまさん🤪

なるほど！ありがとうございます😊🙇‍♀️