点)の個数は,a, bの最大公約数をcとすると, (c-1) 個であること
らない直線の例を
を示せ。
(2) 線分 ABの方程式を考え,それと a, bの最大公約数cを考える
(証明)(0, 0) 以外の有理点(xo, yo) (xoキ0) を通
るとすると,
解答(1) y=/3.r (有理点 (0, 0)のみ通る)
背理法で示す。
Vo=V3 xo
このとき、3 = となり, V3 が有理 Xo, めが有理数より
Xo, oが有理数より、
Xo
yo
数となるので矛盾する.
は有理数
Xo
よって,(0, 0) 以外の有理点を通らない。
エ+=1(x>0, y>0)
b
線分なので,x, yの魔
囲に注意する。
(2) 線分 ABの方程式は,
a
a, bの最大公約数はcであるから,
[a=ca'
16=cb'
Y4
B(0, 6)
(a, b'は互いに素な自然数)
A(q.)
とおける。これを ABの方程式に代入して,
b'x,
a'
x
0
y
cb'
-=1 ① より,-
+y=cb'
ca'
Tor]
分数のところに着目す
右辺は整数,yは整数より,
b'x
も整数で,a' と
a'
b'は互いに素より, xはα'の倍数、すなわち,
ラx= ka' (kは自然数)+
とおける。同様に, y=lb' (lは自然数)とおける.
これらを①に代入すると、
k」l
る。
S
+ニ +l=c ……2
=1 より,
C
C
1。
2を満たす自然数の組 (k, l) は,
よって, 題意を満たす格子点の個数は,(c-1)個
である。
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