Question

めぐお

緑下線部の解説お願いします

の範囲を定めよ。
448 方程式 x°_3a'x+4a=0 が異なる3個の実数解をもつとき, 定数aの値
の範囲を求めよ。

448 指針 方程式を f(x) =aの形に変形できない
から,y=x°--3a'x+4aのグラフと x軸の共有
点の個数を考える。
右の図から
極大
A
3次方程式が異なる3個
の実数解をもつ。
極大値と極小値が
異符号
(極大値)×(極小値)<0
x
極小
f(x) =Dx°-3ax+4a とおく。
方程式 f(x) =D0が異なる3個の実数解をもつた
めの条件は, f(x) が極値をもち, さらに極大値
と極小値が異符号であること, すなわち
(極大値)×(極小値)<0
となることである。
f'(x) %=D3x?-3a°=3(x+a(x-a)

130
クリアー 数学II
f(x) が極値をもつのは αキー4 すなわち 主0
のときである。
このとき,f'(x) %3D0 とすると
aの正負に関係なく f(x) はx=-a, x=aの一
方で極大, 他方で極小となる。
よって, f(x) =0が異なる3個の実数解をもつた
x=±a
めの条件は
aキ0 かつ f(la) f(a) <0
f(-a)f(a) <0から
(2a°+4a)(-2α°+4a)<0
-4a{α°+2)(α?-2)<0
aキ0より, -4a'<0であるから
(α°+2)(a?-2)>0
また, a'+2>0 であるから
ゆえに, 求めるaの値の範囲は
a<-V2, V2 <a (これはaキ0を満たす)
TAL
すなわち
a?-2>0

Answer 1

Rikejo

極値を持つということは、f‘x＝0が２つの異なる実数解をもつということなので、普段なら判別式Dを使います。
しかし今回はf’x＝0aがどんな値でもは絶対に一つ以上実数解がありますよね？だから、解が１つしかない(aと-aが等しい)時を除いてあげるということです。Dで考えても、a≠0が出てきますがD<0がわかっている今回においては少しもったいないかな、と。

めぐお

a＝0の時だけを除くという意味ですよね？