Question

RENA

(3)のマーカー部分、④はどこからきたのですか？
また、⑤と⑥はどこの式に代入したものですか？

4 放物線y=xー 4ax+26… ①が×軸と異なる2点A, Bで交わっている(ただし, a, bは市
D>0
数とする)。
(1) 放物線のの頂点の座標を求めよ。また, aともの関係式を求めよ。
本
1
(2) 放物線Iが点
4°
1
を通るとき,bをaを用いて表せ。さらに, AB=D2/3であるとき、
16
用
aの値を求めよ。
(3) 2点A, Bのx座標がともに0 <x<8を満たすような整数a, bの組の数を求めよ。このとき,
A, Bのx座標をそれぞれa, βとすると, α+B>8を満たすような整数a, bの値を求めよ。
ーズニ40xナント

4
>>0 O3D
(1) y=x°-4ax+26を変形すると,
y=(x-2a)-4a°+26
より,①の頂点は(2a, -4a°+26)
また,①がx軸と異なる2点で交わるから,
d
-4a°+26<0
よって,b<2a
5る38<+
%3D0
1
1
(2) のが点
8
を通るとき,
16 て
1
1
- 4a.
+26
16
4 で4
1
よって, b=;a
2
=d=»
さあケI
このとき, 6<2a°より,
1
aく2°
.2
よって, a<0,
4

また,のはy=°-4ax+aとなり,y=0と
おいたときの解は,
x=2a土V4a。 la
よって,
AB=(2a+V4a?-a)-(2a-v4a°-a)
-24a°-a
AB=2V3 より, V4a°-a=v3
両辺はともに正だから、両辺を2乗して,
4a°-a=3
0
4a°-a-3=0
(a-1)(4a +3)=0
したがって,a=1,
3
4
これは②に適する。
(3) のの右辺をflx)とおく。
のがx軸と0<x<8の範囲で、異なる2点で
交わるとき,
(頂点のy座標<0より,
小
-4a+26<0 3
軸が0<x<8の範囲にあるから,
0<2a<8 ④
f(0)>0より,26>0……)
f(8)>0より,64-32a+26>0…⑥
aは整数より,④から, a=1, 2,3
6, 6より,
a=1のとき,0<b<2
bは整数より,b=1
a=2のとき,0<b<8
bは整数より,b=1, 2,
7
a=3のとき,16<6<18
bは整数より,6=17
よって, a, bの組は9組ある。
flx)=D0の解はx=2a土V4α°-26だから,
α+B>8となるとき,
(2a+V4a°-26)+ (2a-V4α°-26)>8
よって, a>2
したがって,上の9組のうち, 条件を満たす
のは,
a=3, b=17
の1組である。

二次関数

Answer 1

✨ Best Answer ✨

たこ焼き

(3)y=x²－4ax+2bがx軸と異なる2点A,Bで交わり、その2点がともに0＜x＜8を満たすような条件を求めなさい。

とりあえず、2次関数の問題では条件を満たすグラフを書いてみることからスタートです。
ということで、条件を満たすグラフ(今回はy=x²－4ax+2bだから下に凸)を書いてみる。
すると、画像のようになりますよね？
このようなグラフになるにはどのような条件が必要ですか？
　とりあえず、f(x)=x²－4ax+2bと置いて、いつも通り、軸と判別式を考えてみる。
　　軸は0＜x＜8にあればよいから、0＜軸＜8　すなわち、0＜2a＜8・・・④
　　異なる2点だから、判別式D＞0、すなわち、16a²－8b＞0・・・③
　　でも、これだけでは、2枚目の画像のように条件を満たさないグラフが出来てしまいますよね。
　　これを防ぐには、
　　　f(0)＞0・・・⑤とf(8)＞0・・・⑥という条件があればよいですよね？
　　　　※f(0)とは、f(x)=x²－4ax+2bのxに0を代入した値だから、⑤を言い換えると2b＞0
　　　　 f(8)とは、f(x)=x²－4ax+2bのxに8を代入した値だから、⑥を言い換えると64－32a+2b＞0
　　　　　グラフで言うと、f(0)とはy=x²－4ax+2bのグラフでx=0のときのyの値ですよ。
　③④⑤⑥という条件があれば、2点がともに0＜x＜8を満たすグラフ以外書けません。

ということで、必要な条件は③④⑤⑥ということになります。
　　
分からなければ質問してください
解答では、③の条件を判別式ではなく頂点の座標でやっていますが、どちらでも良いですよ。
どちらにしても、③④⑤⑥という条件があれば、2点がともに0＜x＜8を満たすグラフ以外書けませんから。
ちなみに、私がやった判別式D＞0の式の両辺を－4で割ると解答と同じ式になりますよ。

たこ焼き

一枚目のグラフを忘れてました

RENA

ありがとうございます😊