Question

テヒョン

最後のところでなぜAP:PDが2:1になるのですか？

第5問 ベクトル
【解説)
B
25)
辺OA を3:2に内分する点が C, 辺 OBを2:1に内分する点が
D, 辺 AB の中点がEであるから
3
2
-OB,
3
OC =
-OA, OD:
5
ニ
1
(OA+ OB)
2
OE
である。
直線 AD と直線 BC の交点がPであり; 点Pは直線 AD上にあ
るから,実数xを用いて AF%=x AD と表される. この式を変形
D"
すると
OF = OA +x(OD -DA)
=(1-x) OA +x0oD
2
]-x)OA +
-xO)
3
① D=D20B.
となる。
また,点Pは直線 BC上にあるから, 実数 yを用いて
BF=yBC と表される. この式を変形すると
OF = OB +y(OC -OE)
=yOC+(1-y) O
3
yOA + (1]-y)OB
5
..@a oC=3OA.
となる。
OA + 0, OB キ , DA x OE であるから, ①, ②より
1-メーン
*ー1-y
が成り立ち,このx, yについての連立方程式を解くと
X=
ソ=
2-3 5|9

である。x=を①に代入すると
であり,0°<ZAOB<180" より
4
-OE
9
OF -
DA +
ZAOB=| 60
3
となる。
である。
次に,2点Q, Rを
Od=20E, O= OC + OD
すなわち
OG-OA + OE, OR=DOA+\OE
P
四角形OAQB は平行四辺形であるか
となるようにとる。
ら,三角形 OABと三角形 ADQの面積
D
B
は等しい。
また,(図1)より
A
四角形OAQB,四角形 OCRD はとも
(図1)
0 三角形 APQ
に平行四辺形である。
0 三角形BPQ
また,三角形 OAB の面積と三角形 ADQ の面積は等しい。
三角形 ADR
C
の面積はいずれも三角形OAB の面積よ
りも小さい。
P
三角形 OAB の面積は
×2×3×sin6"-2
である。また, AF=AD, PR=D } PO より
器--
D
このとき
PO= O-OF
AP
AD
=(OA + OE)-(DA +OE)
の
であるから,三角形 APR の面積Sは
2
DA +
3
5
OB
9
S=(三角形 ADQの面積) ×
D
B
-平
(三角形 ADQ の面積)
であり,また
=(三角形 OAB の面積).
PR= OR -OF
5
である。
0号+ xo-
である。したがって
2
-Pd
5
3点が同一直線上にある条件
相異なる3点P,Q. R に対し。
PR-kP(kは0でない実数)
PR=
が成り立つとき, 3点P, Q, R は同
が成り立つので, 3点P, Q, R は同一直線上にある。
一直線上にある。
さらに,OA|-2, OB |- 3, DA· O=3 であるとき
OA-OE
TOA|| 0||
-内棟
すでない二つのペクトルa, 5
のなす角が@ (0"<0s180") であ
cos ZAOB=
2×3
るとき
-5-||||cos.

D
B

Answer 1

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えむ

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