56 不定方程式の整数解(2)
(1) 方程式 5x-11y=1 を満たす自然数の組 (x, y) のうち, xの値が0に
近いほうから9番目の組を求めよ.
(2) 方程式37x+23y=1 を満たす整数の組 (x, y) のうち, yの値が 40 に
最も近い組を求めよ.
(東京農業大)
解答
5x-11y=1
0 (Step 1) ①を満たす整数の解を1つ見つける。
この解を「特殊解」 という
x=-2, y=-1は①を満たすから,
5(-2)-11(-1)=1
が成り立つ、O-のより,
5(x+2)-11(y+1)=0
…の
(Step 2) 問題の式①と, 特殊解を代入した式
2を準備して,①-② を計算して,
3のような形にする
3の右辺は11の倍数なので左辺も 11の倍
数であり,5と 11 は互いに素であるから,
x+2=11k(k は整数)
(Step 3) 互いに素であることに注目して,
x(あるいはy)を,整数kを用いて
表す
x=11k-2
このとき,3より,
5-11k=11(y+1)
5k=y+1
(Step 4) k を用いて表した (x, y)が, 無数に
存在するすべての解 (x, y) を表して
いる。この(x, y) を「一般解」 という
y=5k-1
以上より,①を満たす整数の組(x, y) は,
(x, y)=(11k-2, 5k-1)
である。
り
ここで,x21 かつy21であるのは, 整数kが,
k21
のときである。よって, xの値が0に近いほうから9番目であるものは,k=9 の場
合を考えればよく,
(x, y)=(97, 44)
