Question

あ

青の部分が分からないので詳しく教えて頂きたいです。

41正四面体の高さ,体積
例題
1辺の長さがaである正四面体ABCD がある。
(1) この正四面体の高さをaの式で表せ。
(2) この正四面体の体積をaの式で表せ。
解答
(1) 正四面体の頂点 Aから底面 △BCD に垂線AHを下ろすと
AABH=AACH=D△ADH
A
BH=CH=DH
よって
ゆえに, 点Hは △BCD の外接円の中心で, 外接円の半
は BH である。
B
よって, △BCD において, 正弦定理により
H
1
BH=
ニ
2 sin 60°
V3
したがって
A
AH=VAB-BH=a-)
2
3
2
V6
a
ニ
3
-a
3
(2) ABCD の面積は
B
a
H
--40
1
V3
a.asin60° =
2
V3
2
よって, 正四面体 ABCD の体積は
1
·△BCD·AH=
3
1 /3
V6
2.
4
V2
3
3
3
12

Answer 1

塾講師たつぽん(勉強中)

外接円の中心(=外心)は各辺の垂直二等分線を引いた時の交点というのが有名だと思いますが、他にも特徴があります。
外心と三角形の各頂点を結ぶ線分は全て外接円の半径ですから外心は各頂点から等距離にあります。(絵に書くとわかりやすいかもしれません)
これは逆も成り立つため、各頂点から等距離にある点は外心とすることができます。
また、外接円の半径を求める公式として正弦定理があります。正弦定理の内容はご存知だと思うので割愛します。
この解説では△BCDに正弦定理を使っていて、正弦定理の2Rの部分を移項して右辺を×1/2していますね。
また、この問題の正四面体は1辺の長さがaの正三角形で構成されていることにも注意です。(だから分母はsin60°、分子はa)
sin60°=√3/2 であることにさえ気をつければBH=a/√3は出るはずです。
(1)解説の後半部分ですが、これは△ABHに3平方の定理を使っています。
AH²とするところを右辺を平方根にすることでAHとしています。
ABは正三角形の1辺ですから長さはa、BHは先ほどa/√3と出ていますからそれを代入すると高さ(=AH)は√6a/3と出るはずです。