Question

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数学Ⅲ 極限
どうして絶対値を使うのですか？

応用
例題
極限 limxsin
1
を求めよ。
x→0
x
7
考え方ト sin--x|sin 1と0s|sin!|
|x||sin
と 0Ssin
<1より,上の性質6
を使う。
15
解答
sin| 0=xsin }1-1alsin }|=lx1
S1より
0Sxsin
ここで, lim|x|=0 であるから
lim xsin
0
x→0
x→0
よって
limxsin
0
x→0
x
20

Answer 1

素

絶対値を使わないと
−1≦sin1/x≦1 より　−x≦x・sin1/x≦x
となりますがxをかけるときxが負の数の可能性もあるため、不等号の向きが定まらなくなってしまいます。負の数の場合−x≧x・sin1/x≧xとなる
そのため負の数を考えなくてもいい絶対値を使います。ただしlim[n→∞]1/n・sin(nπ/3)のような場合nは自然数なので絶対値にしなくても大丈夫です。