Question

そーた

この問題の(3)が分かりません。
教えていただくと助かります。

16
25かは正の実数とする。複素数 α=-\
2
+i があり, lal=/2 である。ただし, iは
虚数単位である。
(1) pの値を求めよ。 また, αを極形式で表せ。 ただし, 偏角0を 0S0<2x とする。
(2) ° の値を求めよ。 また, α"が正の整数となるような最小の自然数nをkとする。 kの
値を求めよ。
alk
(3)(2)のとき, 複素数平面上で
la
を表す点をA, を表す点をBとし, w=-
Ta
1
-1
2ー
する。点zが線分 AB の垂直二等分線上を動くとき,点wの描く図形を求めよ。

Answer 1

LUX SIT

いきなり(3)は解けないので(1), (2)も解きます.
***
(1) 大きさについて|a|^2=(√6/2)^2+p^2=2が成り立つ. p>0からp=1/√2と決まる.
したがってα=√2(-√3/2+i/2)=√2(cos(5π/6)+isin(5π/6))と極形式で表される.
***
(2) de Moivreの定理からa^6=(√2)^6(cos(5π)+isin(5π))=-8.
a^nが正の整数になるのは偏角が2πの倍数になるときで, そのうち最小の自然数kは12である.
***
(3) A(a^6/|a|^6), B(a^12/|a}^12)は共に単位円上の点で, A(-1), B(1) である.
したがって線分ABの垂直二等分線は|z-(-1)|=|z-1|⇔|z+1|=|z-1|で表される[虚軸だが, 2点A, Bから等距離にある点集合zという見方で.].
w=1/(z-1)⇔z=1+(1/w)[w≠0に注意しよう]からwの軌跡は|(1+1/w)+1|=|1/w|⇔2|w+(1/2)|/|w|=1/|w|.
|w|≠0を両辺に掛けて|w+(1/2)|[=|w-(-1/2)|]=1/2. すなわち点-1/2を中心に半径1/2の円を描く. 但し点0は除く.

そーた

ありがとうございます！！
とっても助かりました！