Question

おもち

なぜ1枚目の答えは−4や3も解に含まれるのに、2.3枚目は19/3や7は解に含まれないのでしょうか？どちらも数直線を見ると重なってますよね？

練習 110 x についての2次方程式 x2 +2ax-a+12=0の解がすべて-4<x<5の範囲に存在する
f(x)=x2+2ax-a +12 とおく。
方程式 f(x) = 0 が -4<x<5 の範囲にすべ
ての解をもつための条件は,y=f(x)のグラフ
4<x<5の範囲でx軸とすべての共有点
をもつことである。
よって、次の [1]~[3] がすべて成り立つ。
[1] x軸と共有点をもつから f(x)=0 の判別
式をDとすると
D≧0
|0|-
5
x
22=a-(a+12)=a+a-12
4
よって, ata-12≧0 より
(a+4) (a-3)≧0
ゆえに a-4, 3 a
.. 1
[2] y=f(x)の軸が-4<x< 5 の部分にある。
y=f(x) の軸は直線 x = -αであるから
よって
-5<a<4 ... 2
[3] f(-4)>0 かつ f (5) > 0 となる。
-4 < -a <5
28
f(-4)=-9α +28> 0 より
a<
3
9
37
f(5) = 9α+37 > 0 より a>
... 4
9
①~④より、求めるαの値の範囲は
37
28
<a ≦-4,3≦a<
9
9
9
-5 37
9
28
4
-43
9
頂点のy座標について
f(-a) = -a-a+12 ≦ 0
としてもよい。

練習 111 x についての2次方程式 x-ax+a+3=0の1つの解が2と3の間にあり、もう1つの解
が4と5の間にあるような定数αの値の範囲を求めよ。
f(x)=x-ax +α+3 とおくと
f(2) = -α+7> 0
f(3) = -2a+ 12 < 0
f (4) = -3a+ 19 < 0
f (5) = -4a+ 28 > 0
①
②
(3
B
頂点や軸の位置について
は、特に考慮しなくても
よい。
3
2 a
5
x

① より
a<7
②より
a>6
19
③ より
a>
6
19
3
a
3
④より
a<7
19
これらを同時に満たすαの値の範囲は
<a<7
3
〔別解)
条件より
(2)(3)0 かつ f (4)f(5) < 0
となればよい。
すなわち
(-a+7)(−2a+12) < 0
...
・①
かつ
(-3a+19)(-4a+28) <0
...
②
①より, (a-7) (α-6) <0となり
6 <a< 7
②より, (3α-19) (α-7) <0 となり
19
<a<7
3
よって,これらを同時に満たすαの値の範囲は
19
<a<7
3

Answer 1

✨ Best Answer ✨

かき

それは、1枚目の方は、重解の場合も対象となっているから、=のときが入ってます。
実際、a=-4 や a=3 を代入してみると、元の2次式は、(x - t)^2 の形になってると思います。
判別式で=になってる場合がそれです。

方や、右の方は、2つの解がそれぞれ、2〜3の間、4〜5の間と、明らかに異なる解であることがわかりますから、重解の場合が含まれません。
右の問題が判別式で考えてないのは、
　f(2)f(3) <0
だけで、x軸との交点があることは、明白な条件だからです。判別式をとってみると、これらの条件内に全て入ってます。

わかりますか？

おもち

本当にですね、ありがとうございます！

かき

よかったです。

これ以外のもそうですが、なかなか難しい問題を解かれてますね。