xとyがそれぞれ媒介変数tで表されているときに、d²y/dx²を求めたいという認識で間違いないでしょうか？
まず、d²y/dx² というのは
yをxで微分すること、つまりyにd/dxを作用させたものであるdy/dxを、もう一度xで微分（つまりd/dx）してくださいということです。式で書くと
d/dx （d/dx （y））
=
d/dx （dy/dx）
=
d²y/dx²
です。
ところで今計算できるのは、xがtの関数、yがtの関数である以上、dx/dtやdy/dtのみです。
だから、
dy/dxは（dy/dt） × （dt/dx）だと便宜的に考えます。（約分の要領でdtが消える。）
dt/dxとはdx/dtの逆数なので、dx/dtを求めたあとに逆数を取ればよいです。
例えば、y=t³、x=t²だとすると、上記を行うとdy/dx=3t/2となります。このように、dy/dxとしてtの式が出てきます。
これをさらにd/dxする必要がありますが、直接d/dxすることはできないので、またまた
d/dx ×（tの関数）
を
d/dt × dt/dx × （tの関数）
とみます。
すると、できるところから微分するために入れ替えることで
d/dt × （tの関数）× dt/dx
とできて、前の部分 d/dt × （tの関数）は、ただの1変数の微分になるので解けますし、残されたdt/dxもdx/dtの逆数として先程求めたものを適用すれば解けます。
このように微分作用素を分数と見たり、順序を自在に入れ替えるという操作は数学的に正しいのかということが気になるかもしれませんが、高校数学の範囲内では基本的に問題ないです。私は工学部の人間なので、そういう細かい面倒なことは数学科の人に任せていて、問題に出るということはどうせ計算できるので気にしません笑。
