Question

けーすけ

(5)でAE:EC＝AB D:BCDとなるのですがなぜですか？

7.2
右の図の四角形 ABCD において,
AB=9, BC=10,
CD=6, DA = 5,
とする.
(1) 対角線ACの長さを求めよ.
B
(2) 三角形 ABCの外接円の半径を求めよ.
(3) 点Dは三角形 ABCの外接円上にあることを示せ.
(4) ∠BAD=0 とするとき, cose の値を求めよ.
(5) 対角線 AC と BD の交点をEとするとき,線分 AE の長さを求めよ.
∠ABC=
T
|3
A

Answer 1

高橋

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」なので、2つの三角形の高さが等しければ、底辺の長さの比＝面積の比になります。
頂点Bから対角線ACに引いた垂線の長さをhとすると、△ABE＝AE×h÷2、△BCE＝EC×h÷2なので、AE：EC＝△ABE：△BCEになります。
同様に、AE：EC＝△ADE：△CDEになります。
ここで、AE：ECの比の値をkとすると、k＝AE/EC＝△ABE/△BCE＝△ADE/△CDEとなります。
つまり、△ABE＝k△BCE、△ADE＝k△CDEです。
すると、△ABD＝△ABE＋△ADE＝k△BCE＋k△CDE＝k(△BCE＋△CDE)＝k△BCDとなり、k＝△ABD/△BCDとなります。
したがって、k＝AE/EC＝△ABD/△BCDとなり、ここからAE：EC＝△ABD：△BCDが言えます。