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(2)
f(n)＝3^n-n^2-nとして、すべての自然数nに対してf(n)＞0すなわち3^n＞n^2+nであることを数学的帰納法で示す。
(i)n＝1のとき：f(1)＝3^1-1^2-1＝3-1-1＝1＞0 」
(ii)n＝kのときf(k)＞0と仮定する。
f(k+1)＝3^(k+1)-(k+1)^2-(k+1)＝3･3^k-k^2-2k-1-k-1＝3･3^k-k^2-3k-2
＝3(3^k-k^2-k+k^2+k)-k^2-3k-2＝3(3^k-k^2-k)+3k^2+3k-k^2-3k-2＝3f(k)+2k^2-2＝3f(k)+2(k^2-1)
kが自然数ならばk^2-1≧0なので、f(k)＞0より3f(k)+2(k^2-1)＞0 」
(i)(ii)より、すべての自然数nに対してf(n)＞0すなわち3^n＞n^2+n ■
(3)
f(n)＝n^3+2nとして、すべての自然数nに対してf(n)が3の倍数であることを数学的帰納法で示す。
(i)n＝1のとき：f(1)＝1^3+2＝3 」
(ii)n＝kのときf(k)＝3m（m：整数）と仮定する。
f(k+1)＝(k+1)^3+2(k+1)＝k^3+3k^2+3k+1+2k+2＝(k^3+2k)+3k^2+3k+3＝f(k)+3(k^2+k+1)＝3(m+k^2+k+1)
m+k^2+k+1は整数なので、3(m+k^2+k+1)は3の倍数である。」
(i)(ii)より、すべての自然数nに対してf(n)は3の倍数である。■
