Question

ゲストです

黄色の線部について、なぜこのように言えるのかがわかりません。
教えてほしいです。

15. (1) すべての実数x について,不等式
x2-2kx+5≧0 が成り立つような実数の範囲を
求めよ.
(2) すべての正の実数x, y について, 不等式
x+y≧√xy が成り立つような実数んの範囲を求
めよ.
(3) すべての正の実数x, y について, 不等式
x+y≦k√x2+y2 が成り立つような実数んの範囲
を求めよ.
(類 22 東京経済大)

･･･
解
すべての実数xについて x2-2kx+5≧0
が成り立つための条件は,x-2kx+5=0が虚数解また
は重解を持つことなので, (判別式)/4=k²-5≦0
より,k2≦5 ... -√5≦k≦√5
(2)
x+5y≥k√√xy
(1)
x=5, y=1のときに ① が成り立たなければならないか
ら、 102√5 k. k≤2√5
(2
一方, x>0,y>0だから, 相加平均≧相乗平均より,
x+5y22√x 5y = 2√5√√√xy
3
となり,②のとき, ③≧k√xy なので, ①は成り立つ。
よって答えは,k≧2√5
.....

Answer 1

嗚呼

全てのxyに関して成立するのだから、x=5y=1で成り立つのは必要です