Question

かしゅ

図形と方程式の、円の接線の問題です。
2枚目に「？」をつけた、「-4≦s≦4」となる理由が分かりません…。教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

Y2 太郎さんと花子さんは,Oを原点とする座標平面上の2つの円C:x2+y^2=16,
C2x2+y²-10x+160の共通接線の方程式の求め方について話し合っている。 次の会話
を読み、下の問いに答えよ。
太郎:共通接線を求める前に, C, と C2の位置関係について調べよう。 Cの中心の座標は
(0, 0) , 半径は4だね。
花子 : C2 の中心の座標と半径を求めて,図をかいてみると, C と C2 は異なる2点で交わ
ることもわかるよ｡
太郎: これより,共通接線は2本だけあることがわかるね。 では, 共通接線の方程式を求
める方法を考えよう。
花子:私は次のように考えたよ。
---花子さんの考え -
C の接線が 2 にも接すると考える。
(i) Ci上の点をP(s,t)として、点PにおけるCの接線をl とする。
(ii) 点P(s,t) は C 上にあるので, s'+t=16 が成り立つ。
() l C2 に接するので, C2 の中心との距離がC2の半径に等しくなる。
このことを stで表す。
(iv) (ii), (i)からs, tの値を求める。
太郎 : 私は次のように考えたよ。
-太郎さんの考え･･
2本の共通接線はx軸上の点で交わることに着目して, 接線が通る点と傾きを考
える。
Due
Dat
(i) 2本の共通接線の交点を A, C2 の中心を B, C2の半径をrとする。
(ii)2つの相似な直角三角形に着目すると, AB:AO=r:4 が成り立つ。
このことから点Aの座標を求める。
(i) 共通接線の傾きをmとして,点Aを通ることを使って,共通接線の方程式
で表す。
(iv) (ii) で表した直線が C に接するので, C の中心と (ii) で表した直線の距離が,
C の半径と等しくなる。このことからの値を求める。
200
太郎 : 他にもいろいろな解法があるようだよ。 問題によって使い分けることもできそうだね。
03 216.1
(5.0) 3
(1) C2 の中心の座標と半径を求めよ。
(2) 花子さんの考えや太郎さんの考えを参考にして, C と C の共通接線の方程式を求めよ。

図をかくと、 右の図の
だわ
ることから, 共通接線は2本あることがわかる。 花子さん, 太郎さんのいず C21
れかの考えに従って, 解いていけばよい。
｢花子さんの考えによる解答
C上の点をP (s,t) とすると, P (s,t) における C の接線の方程式は
sx+ty=16
である。
さらに,P(s,t) が C 上にあることより
s2+t2 = 16
l が C2 にも接するから, ℓ と C2 の中心 (5, 0) との距離は C2の半径3に
等しい。 よって
|5s+0.t-16|
√s² +t²
|5s-16| =3
√²+t²
②を③に代入すると
|5s-16|
√16
=3
|5s-16|=12
5s-16 = ±12
S=
28
5
4≦s≦4 であるから, S
TOL
このとき②
(4\2
(²+² = 16
よって
継はう自立を 16
t=16-
25
= 16(1-25)
= 16-24
=3
t=±4･
=±4.2.6
5
=±
=+86
5
4-5
C₁
34
|P(s,t)
3/
5
したがって, ①より、 共通接線の方程式は,t=
C2
8√6
5
のとき
Sy
5
1円x2+y2 = re上の点(x,y) に
おける接線の方程式は
xx+y=2
点と直線の距離
点 (xo,yo) と直線ax+by+c=0
の距離をdとすると
d =
laxo+byo+c\
√a² +6²
s=2 のとき, ② より
28
(²8³)² + t² = 16
02-600-
384
t² = − 3
25
これを満たす実数t は存在しない、
としてもよい。
A

図形と方程式

Answer 1

✨ Best Answer ✨

志摩🌈

円の上の点だからです✨

かしゅ

お返事遅くなってしまってすみません。
なるほど！！写真付きの説明ありがとうございます！