Question

Koga

数学2の、等式の証明の分野です。

問題は、
「a,b,c,dは実数である。a^2+b^2+c^2+d^2=a+b+c+d=4のとき、a=b=c=d=1であることを証明せよ。」
というものです。
模範解答は、「(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(d-1)^2=0より。」
となっていましたが、
私の解答は、「a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1)=0であり、これはa,b,c,dについての対称式であるので、a=b=c=d=0または(a-1)=(b-1)=(c-1)=(d-1)=0であるが、a+b+c+d=4より、a=b=c=d=0は不適であり、(a-1)=(b-1)=(c-1)=(d-1)=0であるので、a=b=c=d=1である。」
というものです。
私の解答が数学的に間違っているかどうかがわからないので教えてください。

数学2 等式の証明 対称式 別解

Answer 1

gokob

模範解答の場合
(a-1)^2>0,(b-1)^2>0,(c-1)^2>0,(d-1)^2>0
なので足して0になるには
a-1=0、b-1=0、c-1=0、d-1=0
つまりa=b=c=d=1 が成立しますが、kogaさんのやり方では例えばa<0の場合も成立してしまいa=b=c=d=0以外でも与式が成立するので、必ずしも(a-1)=(b-1)=(c-1)=(d-1)が成立するとは限りません。

この問題は模範解答のやり方の方がいいと思います。