Question

よぐ

下線を引いた部分が何故そうなるのか教えて下さい。特に、nが-Xに置き換わっているのが分かりません。

例題集合の相等
12
考え方
証明
整数全体の集合を Z とし, X = {3m+2n|m=Z,n∈Z} とするとき,
Z = X になることを証明せよ。
X CZ かつ XZを示す。 「ACB⇔ (x∈A ならばx ∈ B)」 を用いる。
x∈X とすると, x=3m+2n,m∈Z,n∈Z と表されるから
よって, 「x∈X ならばx ∈ Z」 が成り立つ。
XEZ
すなわち XCZ …. ①
次に, x∈Zとする。 このとき, x=3x+2(-x) より, m = x, n=-x とすると
x=3m+2n,m∈Z,n∈Z と表されるから
よって, 「x∈Zならばx ∈ X」 が成り立つ。
① ② より Z = X
XEX
すなわち
ZCX
②

Answer 1

✨ Best Answer ✨

AZ

Z⊂Xを示すにはx∈Zなら、x∈Xを示せばよい。
つまり、整数xが、【x=3m+2nの形になる(m,nは整数)】ことを示せばいいのでxを次のように変形します。
x∈Zとして、
x=x-x+x-x+x＝x+x+x-x-x＝3x+2(-x)
x,-xは整数なので、【】の部分になることが示されました。
∴x∈X