が5であ
'O
参考
(2)は,数学Ⅰで学んだように,
y=f(x)=x2-2ax+a+6のグラフを用いて,
(i) D>0
(ii) 軸がx>2 の範囲にある (iii) ƒ(2) >0
を考えてもよい。
-2
313
2310a
75. 2次方程式x2-3x+5=0 の2つの解をα, βとするとき,次の2数を解とす
る2次方程式を1つ作れ。
(1)a+β, aβ
* (2) 2a+β,α+2β
*76 2次方程式x2-2ax+a+2=0が次のような解をもつように,実数aの値の
範囲を定めよ。
(1) 異なる2つの負の解
(2) 異符号の解
→ 例題 20
77. 2次方程式x2-(a+1)x+2-α = 0 が次のような解をもつように, 実数aの値
の範囲を定めよ。
*(1) 2つの解がともに2より小さい
(2) 1つの解が2より大きく, 他の解が2より小さい
例題20
478. 2次方程式x2+ax+b=0 の1つの解がx=3-2i であるとき, 解と係数の
関係を利用して, 実数 α, 6 の値を求めよ。 また,他の解を求めよ。
解と係数の関係より,
(1) 2次方程式が異なる2つの実数解を
B=(-a)²-1·(a+2)=a²-a−2>0
a<-1,2<a ...... ①
(a+1)(a-2)>0,
α, β がともに負の数であるから,
すなわち.
a+2>0 かつ 2a<0
したがって,
-2 <a<0 ...... ②
①.②より
-2<a<-1
(2) 2次方程式が異なる2つの実数解をもつから, (1) より ,
a<-1,2<a ...... ①
α, βが異符号の解であるから,
すなわち.
a+2<0
したがって,
① ② より
.....(2)
αβ > 0 かつ α+ B <0
a<-2
a<-2
[注 2次方程式 ax2+bx+c=0 について, αf=<0のとき, ac
a
aβ<0
は負となるから, D=62-4ac は必ず正となる。 したがって, (2)
の条件は,αβ<0 だけで実は十分である。
「考察 「数学Ⅰ」ではこのような問題をグラフを用いて解いている。
どの条件に対応しているか考えてみよう。
(1)
(2) 1 D02 (0)<0
D0② 軸がy軸の左 ③f(0) > 0
77. 2次方程式の2つの解をα, βとすると, 解と係数の関係より,
α+β=a+1, αβ=2-α
また,この方程式の判別式をDとすると,
D={-(a+1)}-4(2-a)=a²+6α-7=(a+7)(a-1)
(1) 2次方程式が実数解をもつから, D≧0より,
a≦-7, 1≦a ......1
α, βがともに2より小さいから,
(a-2)+(B-2)<0 かつ (α-2)(B-2)>0より,
(a+β)-4=(a+1)-4=α-3 <0
したがって, a <3 ...... ②
aβ−2(a+β)+4=(2-a)-2(a+1)+4
=-3a+4>0
(3)
したがって, ak 1/3
① ② ③ より a≤-7, 1≤a</
(2) 2次方程式が異なる2つの実数解をもつから, D>0 より,
a<-7, 1<a
......④
2より大きい解と2より小さい解をもつから、
(a−2)(B-2)<0 より
-3a+4<0
(1)
-2-1
2
0
2
「別解王」
る。
(1)
α< 2 かつ B <2より、
α-2 < 0 かつ β-2<0
であるから (α-2)+(B-2)
と (α-2)(B-2) の符号を考
える。
i
78
a
したがって
4
④⑤ より
3
別解 この問題を2次関数のグラフを用いて解くと,次のようにな
る。
(1) f(x)=x2-(a+1)x+2-α とおくと,y=f(x)のグラフ
は下に凸の放物線である。
題意を満たすための条件は,次の(i), (ii), (i) が成り立つことで
ある。
(i) 放物線がx軸と共有点をもつ。
a
よって,
3
したがって, 判別式をDとすると,
D={-(a+1)}2-4(2-a)≧0
(a+7)(a-1)≧0より, a≦-7, 1≦a……①
(Ⅱ) 軸が直線 x = 2 より左側にある。
したがって
<2より,
(i) f(2)>0 より, -3a+4>0
したがって, a <1/2
③3③
3
① ② ③ を同時に満たすαの値の範囲は,
よって
a>
a+1
2
4
3
a <3
a≤-7, 1≤a<=
a < /
3
(2) y=f(x)のグラフにおいて, f(2) < 0 が成り立てばよいから、
-3a+4<0
·②
第1章●いろいろな式 数学Ⅱ
22
②⑤ だけでもよい。
( 76 参照 )
(3) Ay
O
x=
1
a+1
2
y=f(x)|
2
78.α, bが実数でx=3-2i を解にもつから, x = 3 +2iも解にもつ。 実数係数の2次方程
解と係数の関係より,
(3-2i)(3+2i)=b, 9-4i2=b, b=13
a=-6
(3-2i)+(3+2i)=-a,
x = p+gi が解のと
x=p-qiも解とな
g は実数)
XC
