Question

ゆー

四角で囲んだ部分についてなのですが、その定義というのはどういう定義ですか？
その定義から開区間で扱うという所について詳しく教えて欲しいです

356
重要 例題 211 導関数から関数決定 (2)
微分可能な関数 f(x) が f'(x)=ex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を
基本 210
求めよ。
指針▷>条件f'(x)=e*-1|から, f(x) = flex-1dx とすることはできな
い。 まず
x>0のとき f'(x)=ex-1
x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-x+1
x>0のときは, A と条件f(1) =e から f(x) が決まる。 しかし、
x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。
そこで,関数f(x)はx=0で微分可能
lim f(x)=lim f(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。
X-40
解答
x>0のとき, ex-1> 0 であるから f'(x)=ex-1
よって
f(1) = e であるから e=e-1+C
ゆえに C=1
したがって f(x)=ex-x+1
x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1
よって f(x)=f(-e*+1)dx
x→+0
x-0
f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (Cは積分定数)
X1-0
-ex+x+D (D は積分定数)
(2)
f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0 で連続である。
ゆえに
limf(x) = lim f(x)=f(0)
phix
x→+0
x-0
①から
limf(x)=lim (ex-x+1)=2
②から
limf(x)=lim(-ex+x+D)=-1+D
よって
したがって
このとき, lim-
lim
ん→+0
場合に分けるから
絶対値
2=-1+D=f(0)
ex-1
x0 x
lim
h-0
x→+0
x-0
f(x)=-e*+x+3
=1から
ƒ(h)—ƒ(0)
h
ƒ(h)—ƒ(0)
h
=lim
ん→+0
A
ゆえに
=lim
h-0
D=3
eh-h-1=(
=0,
h
-e" +h+1
h
=0
よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。
e*-x+1 (x≥0)
以上から
f(x)={
−e³+x+3 (x<0)
y₁
(p.242 基本事項 ① ② ) に着目。
x=0で連続
10
(1)\=
+
y=ex-1
導関数f'(x) はその定義か
ら, x を含む開区間で扱う。
したがって, x>0,x<0の
区間で場合分けして考える。
x
f(x) は微分可能な関数。
6101
(lim (1-1)
h
必要条件。
逆の確認。 p. 257 も参照。
◄lim 1 { =(e^_-¹) + 1}
-(eh-1)
k-ol
ors
練習
211-1<x<1とする。 f(x)=|tan-x-11, f(0)=0 であるとき, f(x)を求めよ。
1
[2]
3