164 四面体 (ⅡI)
座標空間に2点A(2, 2, 3), B(4,3,5) をとり, AB を1辺と
する正四面体 ABCD を考える.
(1) [AB, AB・AC を求めよ.
(2) 辺ABをt: (1-t) に内分する点をPとするとき, PC・PD,
|PC を t で表せ.
(3) ∠CPD = 0 とおくとき, COSO をtで表せ.
(4) cos 0 の最小値と, そのときのもの値を求めよ.
精講
(1) AとBしか与えられていないのに, AB･AC が求まるのか?と
思った人は問題文の読み方が足りません.
「正四面体」 と書いてあります. 正四面体とは,どのような立体
でしょうか.
(2) 163 のポイントをもう一度読みなおしましょう.
(3) 空間でも, ベクトルのなす角の定義は同じです.
解答
(1) AB=(2,1,2) だから,
|AB|=√4+1+4=3
また, △ABCは正三角形だから,
∠BAC=60° |AC|=|AB|=3
..AB・AC=|AB||AC|cos 60°
1
9
--3-3-2-2-2-2-2
3.3.
=
(2) PC-AC-AP=AC-tAB
PD=AD-AP=AD-tAB
A PC PD=(AC-tAB) (AD-tAB)
B
△ACD, △ABDも正三角形だから
AC・AD=AB・AD=AB・AC=1/2
1-t
=AC･AD-tAB・AC-tAB・AD+|AB|
◆正四面体の性質
D
よって, PC･PD=94-9t+
また, [PC|=|AC-tAB
=9t2-9t+9
(3) |PD|=|AD-tAB=9t²-9t+9 だから
cos o=
=
=|AC-2tAB・AC+AB
PC･PD
|PC||PD|
演習問題 164
18t²-18t+9
2(9t²-9t+9)
2t²-2t+1
2t²-2t+2
(6) cos6-1-2²-24+2 -¹ -2 (1-1)+2
0=1-
よって、t=1/12 のとき、最小値 1/3
ポイント
<わり算をすること
で, 分子の次数を下
げる
255
正四面体とは,4つの面がすべて合同な正三角形であ
る四面体
注 正三角すいと正四面体は異なります。
正三角すいとは, 右図のように,
1つの面は正三角形, その他の面は,
合同な二等辺三角形であるような四面
体です.
B
C
正四面体 ABCDの辺AB, CD の中点をそれぞれ, M, N
線分 MN の中点をG, ∠AGB=0 とするとき, AB=2とし
問いに答えよ.
(1) GA, GB AB, AC, AD を用いて表せ.
(2) |GA|, GB, GA・GB の値を求めよ.
(3) cos の値を求めよ.
ありがとうございます😭