Question

よぐ

画像1枚目が問題で、2枚目と3枚目がその解説です。3枚目の青線を引いた部分について、なぜ自然数と断定できるのか教えてください。

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人試問題
nを1以上の整数とするとき, 次の2つの命題はそれぞれ正しいか。 正しいときは証明し、正し
くないときはその理由を述べよ。
命題p: あるn に対して, nとn+1はともに有理数である。
命題g: すべてのnに対して, vn+1-√nは無理数である。

46
(i) 自然数nに対して,nが有理数であるとする。
Vn >0であるから
u
√n = (u, vは互いに素である自然数)
V
とおくと
n=
U²
02

続き
nは自然数であるから、分母は分子 2 の約数で
ある。u, vが互いに素であれば², v2 も互いに
素であるから, v2=1となり, n=u² から
√n=u(uは自然数)
Vn,Vn+1 がともに有理数であると仮定すると,
ともに自然数となり、Vn+1-√n>0より
Vn+1-vn ≧1
一方
1
√n+1+√√√n
0<√√n+1-√n =
であるから,これは矛盾する。
したがって、命題pは偽である。
<1

Answer 1

✨ Best Answer ✨

yk

京大の過去問ですかね。
√nを有理数と仮定すると、互いに素な自然数を使って、√n=u/vと表せる。両辺二乗するとn=u^2/v^2となるが、nは自然数であり、v^2が残ってしまうとまずいので、v^2はu^2の約数。vとuは互いに素なのでvは1しかない。
よって√n=u(uは最初の時点で自然数としている)となり、√nを有理数と仮定すると√nは自然数になる。

n+1も同様に√(n+1)を有理数と仮定して互いに素な自然数でn+1=p^2/q^2として、左辺は自然数+自然数で自然数だから、右辺も自然数になって、nの時と同じようにqは1になり、√n+1=p(pは最初の時点で自然数)となり、√(n+1)を有理数と仮定すると√(n+1)は自然数。

つまり、最初に有理数と仮定した、つまり、互いに素な自然数を使って分数で表そうとした時点で分母は確実に1以外有りえなくなり、=(自然数)となってしまうということです。