Question

はな

数Aの、命題と対偶の問題の⑵、⑶がわかりません！
なぜ⑵は、aが3m+1だけ、もしくは3m-1だけじゃなくて、3m±1じゃなきゃいけないんでしょうか？
あと、⑶は場合分けして考えなくていいのに、なぜ⑵はたくさん場合分けして考えなくてはいけないのか教えて下さい🙏‼︎

整数 α, b に関する次の命題の対偶を述べ, 対偶を証明することにより、 次の命
題を証明せよ.
(1) α² 2の倍数ならば、αも2の倍数である
(2) Xa²+62 が3で割り切れるならば、α,bはともに3で割り切れる (201)
(3) 積abが4の倍数ならば, aまたは6は2の倍数である
p. 208 11 12) 13

(2) もとの命題の対側は、
「αまたはbが3で割り切れないならば,
α'+b²は3で割り切れない」
となるので,これを証明する.
m, nを整数とすると.
(i) a=3m± 1,b=3n のとき
a+b²=(3m±1)+(3n)2
=9m²±6m+1 +9n²
=3(3m²±2m+3n²) +1 (複号同順)
3m²±2m+3² は整数であるから, a+b2は3
で割り切れない。
(ii) α =3m±1.6=3n-1 のとき
a2+b2=(3m±1)+(3n-1)²
300
=9m²±6m+1+9n²-6n+1
08
=3(3m²±2m+3n²-2n)+2 (複号同順)
3m²±2m+3n²-2nは整数であるから +62
は3で割り切れない.
(ii)a=3m±1,b=3n+1 のとき
a²+b2=(3m±1)' +(3n+1)^
=9m²±6m+1 +9n²+6n+1
|=3(3m²±2m+3n²+2n) +2 (複号同順)
3m²±2m+3n²+2nは整数であるから, d²+62
は3で割り切れない.
(iv) (i)~(i) において, aとbを入れかえてもα' +62
は同じ値となる.
したがって, (i)~(iv)より, a または6が3で割り切れ
ないならば、α'+b2は3で割り切れない.
(8-3
るよって、対偶が証明されたので,もとの命題も成り立
4840
つ.

(3) もとの命題の対偶は,
SU
「α, bがともに2の倍数でないならば,
となるので,これを証明する.
a,bはともに2の倍数でないから,
積αb は 4の倍数でない」
a=2m+1,b=2n+1 (m, nは整数)
とおくと,
ab=(2m+1)(2n+1)
=4mn+2m+2n+1
=2(2mn+m+n) +1
ここで、2mn+m+nは整数であるから abは奇数
となり、4の倍数でない.
よって, 対偶が証明されたので,もとの命題も成り立
1+3049
つ.

命題と対偶

Answer 1

✨ Best Answer ✨

さい先生

(2)について、対偶を取ったときの命題が「aは3で割り切れないまたはbは3で割り切れないならば」となっていますので、まずはaを「3で割り切れない」数で固定して考えています。このとき、3で割り切れない数は3m+1と3m-1の2種類ありますから、これら2種類について、bの値による場合わけをしていく必要があります。
どちらか一方だけでは、3で割り切れない数は網羅できないからです。

一方、(3)については「aが2で割り切れないかつbで割り切れない」となりますから、積abを考えるときそれは一意的に表現できます。(他の場合が考えられません)

はな

⑵は、aかbのどちらか、またはどちらも3で割り切れない数だから
・aが割り切れない数、bが3m+1で割り切れない数
・aが割り切れない数、bは割り切れる数
・aが割り切れない数、bが3m-1で割り切れない数で場合分けするということでしょうか⁇

あと、⑶は、aもbも2で割り切れない数だから場合分けしない、というのは理解できたのですが、なぜ2m±1と2n±1にする必要がないか教えていただけますでしょうか💦⁇

たくさん質問してしまいすみません🙏‼︎よろしくお願いします！

さい先生

(2)については、おっしゃる通りです。

(3)については、2で割れない数(奇数)は、2m+1としても2m-1としてもいずれも奇数として表されるので、どちらか一方の書き方で十分です。
ちなみに、(2)の場合であれば、3m-1は3で割ると2余る数、3mは3で割り切れる数、3m+1は3で割ると1余る数になりますから、場合分けが必要です。

はな

なるほど✨‼︎
ずっとわからなくて悩んでいたので助かりました‼︎ありがとうございました🙇🏻‍♀️！