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ME
XX
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重要 例題 100 等差数列と等比数列の共通項
列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{cn} を作るとき, 数列{cn
数列{an}, {bn}の一般項を an=3n-1,bn=2” とする。 数列{bn}の項のうち、数
の一般項を求めよ。
重要 93 基本 99
指針▷>2つの等差数列の共通な項の問題(例題93) と同じように,まず,a=bmとして、1mの
関係を調べるが, それだけでは {cn}の一般項を求めることができない。
そこで, 数列{an}, {bn} の項を書き出してみると,次のようになる。
(an): 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32,
{bn}:2,4,8,16,32,
Handlin
を順に調べ､規則性を
Ci=b, Ca=b3, C3 = bs となっていることから,数列{bn}を基準として, 6m+1 が数列{0.²
の項となるかどうか, bm+2 が数列{an} の項となるかどうか、
見つける｡
解答
a1=2, b=2であるから
C1=2
数列{an}の第1項が数列{bn}の第m項に等しいとすると
3l-1=2m
U-18
ゆえに bm+1=2m+1=2m・2=(3-1)・2
= 3.21-2
よって, bm+1 は数列{an} の項ではない。
①から bm+2=26m+1=3.4l-4
=3(4-1)-1
ゆえに, bm+2 は数列{an} の項である。
したがって
{C}:b1,63,65,
数列 {cm} は公比 22 の等比数列で, C1 = 2であるから
Cn=2.(22)"-1=22n-1
22n=4"=1"≡1(mod3)
[2] m=2n-1(nは自然数) とすると
規測性から
答えを予想はできたこ
SS
3･O-1 の形にならない。
JANE
重要
初項が
10g10 3=
141) 10
△×(2) 初
30 \-=b (s)
7V=5,2V=D
検討 合同式(チャート式基礎からの数学A 参照) を用いた解答
3n-1=-1≡2(mod3) であるから, 2" = 2 (mod3) となるmについて考える。
[1] =n(nは自然数) とすると
1970
4"
cn=122 などと答えてもよ
L
22n-1=22(n-1).2=4”-1.2=1"-1.2=2 (mod3)
[1],[2] より,m=2n-1 (nは自然数) のとき 2” が数列{cm} の項になるからコ
Cn=bzn-1=22n-1
指針>
練習 数列{an},{bn}の一般項をan=15n-2, bn=7.27-1 とする。 数列{bn}の項のう
(4)
100 ち,数列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{c,}を作るとき, 数列
{cn}の一般項を求めよ。
.631 02
解答
(1) 初
103-
各
ゆ
よ
す
n
G
