Question

かい

かいてます

刀/
43
_文社会科学 ]
1661 の公式の証明, 放物線で囲まれた図形の面積)
職) 8/15
(1)α<ß を満たす実数α, β に対して, f (x-a)(x-B)dx=-1/2 (B-α) を示せ。
(2) 放物線P を y=-x2+2x+4 で定める。 点(p, g) が直線 y=-2x+1 の上を動
くとき,y=(x-p)2+g で定める放物線QがPと共有点をもつようなかの範囲を求
めよ。
(3)(2) 求めた範囲を動くとき,PとQで囲まれた図形の面積の最大値を求めよ。
[お茶の水大]
応用問題

範囲
で
C
l2
C
l2
を
B3-3
3
2
a+B (B²-a²)+ aẞ(ẞ-a)
27
=1/21 (B-α) (2 (B2+Bar+α)-3(B+α)+6aB}
=1/12 (B-α) (-B2+2Ba-a²)=-1/2 (B-α)
f(x-a)(x-B)dx=f(xa)(x-a)-(B-a)dx
={(xa)-(Ba)(x-a)}dx
-[(x-a) Ba (x-a)]"
=
2
(8-a)" (-a)=(B–a)³
3
2
(2)点(b,g) が直線 y=-2x+1 上を動くから g= -2p+1
よって、 Qの方程式は y=(x-p)2-2p+1
y=x2-2px+p-2p+1
B-αをくくり出す。
x-βをx-αが現れる形
に変形。
3
167 放物
Sta
(3)
(1) y=x2
直線 l
y-a
すなわち
x2=--
x²
(x
√(x-a)dx=(x-+0
よって
ゆえに
すなわち
PとQの方程式からy を消去すると
ラブ
-x2+2x+4=x2-2px+p-2p+1
整理して
2x2-2(p+1)x+p2-20-3=0
......
①
D=
<1
の
で
2
この2次方程式の判別式をDとすると
1/4={(n+1)-2(p-2p-3)=-p+6p+7
=-(p+1)(p-7)
QがPと共有点をもつための条件は, D≧0 であるから
-(n+1)(p-7)≧0
したがって -1≤p≤7
(3) (2) のとき, ①の2つの解をα, β
(α ≦ β) とすると
D
三線
+1-
a=
形
V 4
2
D
―
p+1+.
V4
2
B=
よって
D
4
B-a=√7=-+6p+7
P
A
0 α
(2) S=
(p+1)(p-7)≤0
(3) 2
2a
ゆえに,PQで囲まれた図形の面積をSとすると
s={(-x'+2x+4)-(x-2px+p-2p+1)}dx
=-2f(x-a)(x-8)dx-(-2){-1/12(3-2)^2}=1/3(3-4)
= (√-p²+6+7)=√(-3)+16)
①の解α,βはPとQの交
点のx座標。
したがって,Sは p=3 のとき最大値 - (V6)=4
16/16
をとる。
134
数学重要問題集 (文系)

Answer 1

Yoshimarukun

最初の式変形は右の注釈にある通りです。
「(β-α)でくくりだす」
とありますが、実際は見てわかる通り
(β-α)/6でくくりだしています。
ここは基本的な式変形、三次の因数分解などによるものなのでそれ以上の説明はありません。
数学Ⅰの「数と式」を確認してください。

(√16)^3/3=16√16/3=16・4/3=64/3です。
(√16)^3/3=4^3/3=64/3
とした方が簡潔です。