z=2xy+ax+4y
=2(x+2)y+ax・・・①
ここで、x>0より①は傾きが正の直線の方程式を表す。
x+y≦2より、0≦y≦2-xだから
xを固定すると
①≦2(x+2)(2-x)+ax=-2x^2+ax+8=-2(x-a/4)^2+a^2/8+8
f(x)= -2(x-a/4)^2+a^2/8+8とおくと
f(x)は上に凸な放物線である。0≦x、軸x=a/4<0より
f(x)はx=0で最大値を取る。
したがって、
z≦f(0)=8◻︎
別解)これは誤りだが答えは出てしまう
z=2(x+2)(y+a/2)-a
x+2>0よりy+a/2が最大のとき、zも最大値を取る。
x+y≦2⇔(0≦)y≦2-xよりyの最大値はy=2-xであるから代入して(→ここに飛躍がある)
z=2(x+2)(2-x+a/2)-a=2(-x^2+(a/2)x+a+4)-a・・以下略
別解)これはおそらく正しい
z=(x,y)・(a,2y+2)
ベクトルγ=(x,y)、ベクトルσ=(a,2y+2)とみなすと、
zは内積γ・σである。
σはx成分aは負、y成分2y+2は正であるから、
第二象限に位置するベクトルである。
ここで、γの成分を領域ないで変化させたとき、zが最も大きくなるのは、各x成分に対してy成分が最大のとき、すなわち直線x/2+y/2=1上のときである。
ゆえに、y=2-xとすると、
z=γ・σ≦ax+2(2-x)(x+2)=-2x^2+ax+8
以下略
追記:x=0なのでy=2-x=2でありともにx≧0,y≧0をみたす。
またこのとき、確かにz=2･0･2+a･0+4･2=8をとる。