Question

めがね

⑶の解説でP（x）＝kとありますが
kと同じなのはP（1＋i）では？
なぜこの等式が成り立つんですか？

基本
3 P(x)=x-x²+ (2-4a²)x+5a (aは正の定数)がある。
(1) x=1+iのとき, x²-2xの値を求めよ。
応用
(2) x=1+iのときの P(x)の値をaを用いて表せ。
標準
(3) P(1+i) が実数となるαの値を求めよ。 このとき, 方程式P(x)=kの3つの解をα,B,
yとする。 α^+β^+y* の値を求めよ。 また, nを自然数とするとき, a n +β 4 + y^n を n を
4n
4n
基

13
(1) x=1+iより,(x-1)=-1
よって, x2-2x=-2
(2) P(x) をx2-2x+2で割ると
P(x) = (x² − 2x + 2) (x + 1)
(+4+ (2-44²)x+5a-2
(1)より, x=1+ i のとき,
x²-2x+2=0が成り立つから
P(1+i) = (2-4a² ) ( 1+i) +5a-2
=(5a-4a²)+ (2-4a²)i
(3) (2)より, P (1 + i) が実数となるのは,
2-4a²=0のときであるから
√√2
a>0より, a= 2
√2
√22
このとき,k=5. 1272-4 (12/22)
4.
5√2
= 2
-2
だから, 方程式P(x)=k•••••• ① は
5√2 5√2
2
2
x-x2+- =
-2
x-x+2=0
(x + 1)(x² - 2x +2) = 0
よって、 ①の解は, x=-1, 1±i
したがって
α*+β^+ y^=(-1)* + (1+i) +(1-i)^
=1+(2i)²+(-2i)²
EN

Answer 1

ブロッコリー

P(x)=kはxの3次方程式になるので重解を含めて3つの解(xの値)をもちます。
1ーiはその一つに過ぎないのです。