Question

さこ

数列の極限をはさみうちの原理によって求める問題です。(3)についてです。

①この解法は数列の二項間に関する不等式をつくり繰り返し用いる事で【anが使われていない初項の式】まで辿り着くことを利用して、数列を極限0になる式ではさんでいるという解釈であっていますか？

②黄色部分は【0 <= 1-an】とのことですが(1)よりanは1未満であるとわかったから【1-an】は0を取り得ないと思うのですが、どうして等号がついているのですか？

どなたか分かりやすく丁寧な解説をお願いします🙇🏻‍♂️

9 はさみうちの原理
an
22+3
4
(1) 0≦x<1が成り立つことを, 数学的帰納法で示せ .
が成り立つことを示せ .
(1) により,
a=0, an+1=
l-an
(2) 1-an+1
2
(3) liman を求めよ.
n10
解けない2項間漸化式と極限
an+1=f(am) で定まる数列の極限値を求める定石として、以下の方法がある.
1°
満たす. これからαの値を予想する.
an の極限が存在して,その値がαならば,liman = a, lim an+1=αであるから,αはα=f(α) を
11-0
1118
2°与えられた漸化式 Qm+1=f(am) と α=f(a) の辺々を引くと, an+1-α=f(am)- f(α) となる
が.これから
|anti-a|≦klan-al, kは 0≦k<1である定数・
の形の不等式を導く。すると,|an-a|≦k|an-1-a|≦k2|an-2-a|≦…≦k"-1|a-a|
• 0≤la₂-al≤k"-¹|a₁-al
limkn-1|α1-α|=0であるから, はさみうちの原理により,|an-α|→0
¥80
(n=1, 2, ...･･･) で定義される数列{an} について
4 -≤ak+1<.
■解答量
(1) nに関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する.
n=kでの成立, つまり0≦x<1が成り立つとすると, ak+1 について,
02+3
12+3
0≦ak+1 <1
4
よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された.
an² +3
1-a₂² 2
(2) 漸化式から, 1-an+1=1-
1+ an
.(1-an)
4
4
4
1+1
<
4
1+an
4
=
(なお、要点の整理・例題 (8) から, ☆のkは定数でないと, am →αとは結論できない)
1
2'
簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式
1 - a>0であるから,
1-an+1</(1-an)
(3) 1-a>0と, ① を繰り返し用いることにより,
1
0≤1 - an</21 (1-ªn-1) < 12 (1-ªn-2) <--< -2 ²-₁ (1-₁) =
1
2n-1
1
-→0より, はさみうちの原理から lim (1−a)=0
2n-1
n→∞
9 演習題(解答は p.27 )
1
数列 an (n=1, 2, …) は, a1=0, an+1
.".
1
22-1
liman=1
(岡山県大情報工-
1110
①
..
an→α (n→∞)
0≦x<1のとき, 02≦²
a=
漸化式を用いて1-Qn+1 を
表す.
本問の場合, 求める極限値
として, 1° を使うと,
a²+3
α=1,
4
からαの値が予想できる.
..

二項間漸化式 極限 はさみうちの原理

Answer 1

✨ Best Answer ✨

MR

①→その通りです！極値を求める時はそういう不等式　　　　　　　　
　　を立てるのは鉄板です。
②→仰る通りです。ただ考えられるのは、
　　まず<を≦にしても論理は破綻しない(条件緩くな
　　ってるので)あと、はさみうちの原理はa≦c≦bの　　　　　
　　ように<より≦で書くことが多い気がします、、
　　(勿論<でも極限の概念的に正しいです。)

さこ

コメントありがとうございます！
なるほど🧐
制限が緩くなったとしても挟むことができているから(1-an)は0に収束せざるを得ないということですね！