Question

涼風

積分の問題です。

黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問
125 水の問題
放物線の一部y=x² (0≦x≦2) をy軸のまわ
りに1回転してできる容器 (右図) がある.ただし,
目盛り1を1cmとする. この容器の上方から, 毎
秒2cm の割合で水をゆっくりと注ぐとき、次の
問いに答えよ.
(1) 水面の高さがhcmのとき (0<h≦4), 注がれ
た水の体積を求めよ.
精講
① 水が満杯になるまでにかかる時間工を求めよ.
(%) 水面の高さが2cmのとき, 水面の上昇する速度を求めよ.
(2) 7=
(1) この容器はy軸まわりの回転体ですから 116 の公式を使
います。
容器の体積
2
で求まります.
(3) 速度とは何でしょうか? 速度=
YA
O
距離
と習いましたが,これでは平均し
時間
た速度になってしまい, 「水面の高さが2cmのとき｣ という瞬間の速度には
なりません。この容器の場合, 常識的にも, 水面の高さが高くなるほど水
面はゆっくりと上がっていくはずですから, 水面の高さによって, 水面の上
昇する速度は異なります. そこで,次の性質を利用します。
速度
tで微分
tで微分
位置
tで積分
tで積分
この関係式で,「位置」って何だろうと思うかもしれませんが,y軸という
数直線上で点 (0, h) が動点と考えれば, んのことであることがわかります。
加速度
分 (積分) しなければならない点です.
そして,この考え方の最大の注意点は,上の図にもあるように, 時刻tで微
v=x["x²dy=n" ydy=7³/2=7h² (cm²)
(1)
単位 「cm」を忘れないように .
注
(2) 水が満杯のときの体積は (1) の結果に h=4 を代入して,87cm
よって,
(3) V=
1=²より、
2= πh.
参考
T= =4π (秒)
dV
ここで, -=2 だから
dt
8π
2
ポイント
dV_dvdh
dt dhdt
cm」 の
演習問題 125
dh
dt
h=2のときの速度だから,
dV
-= πh
dh
解答
dh
1
TC
2
πh
125 において時刻
164 注1
dh 2
dt πh
確かに,
面がゆっくり上昇することを示しています。
の,すなわち, dt
◆体積が増加する速度を意味するので
この問題では,2cm²/秒
(cm/秒)
の値はんの値が大きくなるほど小さくなります。
号に
231
(3) で予想したように、 水深が深くなるほど, 水
の変化する速度とは 時刻で微分したも
d
注
問題文の中に 「tがない」 と思う人もいるかもしれませんが 「毎秒2
中に含まれています.
における水面の上昇速度をTを用いて表せ。
第6章