Question

おはぎ

おそらく判別式を使う問題です。
解き方も全くわかりません。教えてください。

a,b, p, g を実数とする。 3つの2次方程式
7²
+ax+b=0...... ①
x2+px+q=0…..... ②
2x² + (a + p)x+b+q=0······3
について, ①,②ともに虚数解をもてば, ③も虚数解をもつことを証明せよ。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

一例ですが…

出発すべき仮定は
①の判別式=a²-4b<0 つまり-4b<-a²…③
②の判別式=p²-4q<0 つまり-4q<-p²…④

示すべき結論は
③の判別式=(a+p)²-8(b+q)<0…⑤

⑤の左辺
=a²+2ap+p²-8b-8q
<a²+2ap+p²-2a²-2p²
=-a²+2ap-p²
=-(a²-2ap+p²)
=-(a-p)²
<0

和

数字が変でした

出発すべき仮定は
①の判別式=a²-4b<0 つまり-4b<-a²…④
②の判別式=p²-4q<0 つまり-4q<-p²…⑤

示すべき結論は
③の判別式=(a+p)²-8(b+q)<0…⑥

⑥の左辺
=a²+2ap+p²-8b-8q
<a²+2ap+p²-2a²-2p²
=-a²+2ap-p²
=-(a²-2ap+p²)
=-(a-p)²
<0

おはぎ

わかりやすい解説ありがとうございます。
やっと理解できました！

おはぎ

⑥の左辺の式の2列目、＜の次の式はどこから出てきた式ですか？
流れはよく分かったのですが、よく読んでみると疑問が出てきてしまいました。

和

仮定の式④⑤から作っています

-8bや-8qを消すために
④や⑤を2倍して-8b<-2a²、-8q<-2p²
として使っています

おはぎ

ありがとうございます。
理解できました！