Question

Saku

次の等式を満たす有理数ｐ，ｑの値を求めよ。
(√２ー１）ｐ＋ｑ√２＝２＋√２

この問題の解き方を教えていただきたいです🙏
答えはｐ＝−２、ｑ＝３です。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

AZ

まず、a,bがℚ(有理数)のとき、a+b√2=0⇔a=0,b=0……（＊）を示します.
～～～～～～～～～～
(⇐)は自明なので(⇒)を示します.
b≠0とすると、√2＝-(a/b)∈ℚとなり矛盾します.
なので、b=0ですね.このとき
∴a=-b√2＝0
∴a=0,b=0
これで（＊）が示されました.
さて、
(√2－1)p+q√2=2＋√2
⇔(-p-2)＋(p+q-1)√2=0で、（＊）より、
-p-2=0,p+q-1=0です.
これを解いて、p=-2,q=3が得られます.

Saku

ありがとうございます🙇‍♀️
質問申し訳ないのですが、一行目の⇔は、「かつ」であってますか、？

AZ

「⇔」は同値記号です.
「⇒」かつ「⇐」が成り立つということです.きちんとした日本語で書くと、
a+b√2=0⇔a=0,b=0は
「もし、a+b√2=0が成り立つんだったらa=0,b=0も成り立つし、
a=0,b=0が成り立つならa+b√2=0も成り立つよね.」ということです.

Saku

ありがとうございます🙏