Question

らん

何故吟味が必要なのかがわからない

81 極限(ⅡI)
次の等式が成りたつような定数α, bの値を求めよ.
x2+ax+b
x-2
精講
lim
x-2
→2のとき,
となりますが､ 「それでは6にならないじ
ゃないか!!」 と思うのは早計. たった1つだけ可能性が残されてい
ます.それは「不定形」 (80) です. だから 2a+6+4=0 となれ
ば､ 6 になるかもしれないのです. ただし, これは必要条件ですから、 あとで吟
味をしなければなりません.
.. lim
X-2
lim
2
→2のとき, 分母 0 だから､ 極限値が6になるためには,少なく
ともx→2のとき, 分子→0でなければならない。 不定形
よって, 2a+b+4= 0 ∴.b=-2a-4
このとき、x²+ax+b=x2+ax-2(a+2)
=(x-2)(x+a+2)
=lim(x+a+2)=a+4=6
x2+ax+b
x-2
x²+2x-8
x-2
=
よって,a=2, b=-8
逆にこのとき,
ポイント
2a+b+4
0
: 6
=lim
x→2
=
x→2
(x-2)(x+4)
x-2
| 分子に x-2 をつく
りにいく
=lim(x+4)=6 となり,適する.
X-2
新値が存在しないのではなく, かくれてい

何故解説の吟味が必要なのか 極限 微分 不定形

Answer 1

るいと

こんな感じでどうでしょうか？

Answer 2

Clearnote User

必要十分条件というものが、いわゆる同値変形(等しい)になります。

ただ、必要条件(最低限必要)の場合には、十分性が担保されていないので、反例を含んでいる場合があります。

だから、十分性の確認(吟味)が必要になります。

ーーーー
(以下、具体例)

nが4の倍数ならば、 最低限nが2の倍数であることが必要！
だけど、n＝6は4の倍数じゃない！
(十分性が担保されていないので、必要十分条件ではない)

nが4の倍数→nが2の倍数 (⭕)
nが4の倍数←nが2の倍数 (❌)
ーーーー
(以下、本題)

この問題では、分子が0に収束する｢必要｣があると言っていますが、分子がゼロに収束したからと言って、全体が6に収束するかどうかの十分性は成り立っていないので、吟味が必要になります。