Question

m

極値を持つとa>0になるのは何故ですか？

436 f(x)=x-3ax + α とする。
方程式 f(x) = 0 が異
極大
なる3個の実数解を
もつのは,関数 f(x)
が極値をもち, さら
に極大値と極小値が
異符号であるとき,
61
すなわち
(極大値)×(極小値) < 0 となるときである。
f(x) を微分すると
f'(x)=3x2-3a=3(x2-a)
f(x) が極値をもつとき
x
このとき,f'(x)=0 とすると
f(x) の増減表は次のようになる。
-√a
f'(x) + 0
f(x)
1
よって, 求める条件は
すなわち
したがって α² (1-4a) <0
a>0
a>
+
-
+
極大 \ 極小 >
a>0 より a²>0であるから
1
よって
4
極小
x=± √a
√a
0
a(2√a +1)a(-2√a + 1) < 0
11 as
f(-√a) f(√a) <0
Xx
1-4a<0 E

応用問題
TT
436 方程式x-3ax+a=0が異なる3個の実数解をもつとき,定数aの値の範囲
を求めよ。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

aporon

a<0であれば、x²-a=0は解をもたないため、f'(x)=0は解をもちません

m

何故解を持たないのでしょうか？💦

aporon

実数解を持たない
が、正しい表現でしたね

x²=-3とかは虚数解になります。

m

ありがとうございました😭

Answer 2

カルロス

他の回答者さんがなぜかa<0のときのみ言及してa=0のときを無視してるので回答します。

f'が常に≧0であれば、fは単調増加（非減少）ということですから極小値も極大値も持ちません。

f'が常に≦0であれば、fは単調減少（非増大）ということですから極小値も極大値も持ちません。

a=0ならf'(x)=3x²なので、f'は常に≧0です。したがってfは極値を持ちません。

実際、a=0のとき、f(x)=x³ですが、これは極値ないですね。

a<0のときは、f'(x)=3(x²-a)は常に>0なので、fは常に増加してるので極小値も極大値もないです。

m

ご丁寧にありがとうございました😭