Question

はとぽっぽ

Bの1/3乗＝Aの1/3乗の時、A＝Bが成立するのは何故ですか？また指数がおなじで等式が結ばれていたら底同士が＝で結ばれると一般化しても同値性的に問題ないですか？

Answer 1

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カルロス

> Bの1/3乗＝Aの1/3乗の時、A＝Bが成立するのは何故ですか？

普通に両辺を三乗すればB=Aです。

> また指数がおなじで等式が結ばれていたら底同士が＝で結ばれると一般化しても同値性的に問題ないですか？

a²=b² ⇒ a=b
は正しくないことは中学で習っているかと。

はとぽっぽ

言われてみればそうですね。では勝手に3乗が許されるのは何故でしょうか？同地性は崩れないのですか？

カルロス

=で結ばれているものに同じものをかけてもイコールであるというのは小学校で習ってるいるかと思います。

x=yの両辺にxをかけたら
x²=xy.

x=yだからx²=y².

x²=y²の両辺にxをかけると
x³=xy².

x=yだからx³=y³.

というわけでx=yならx³=y³.

はとぽっぽ

それで同値が示せるならx＝y⇔x²＝y²も同値になってしまいおかしくなりませんか？？

はとぽっぽ

よく見たら「なら」でした。すみません。僕の質問のの時ってのが良くなかったです。xのn乗＝yのn乗を同値変形していくことって出来ないんですか??また、たぶん両辺n乗⇒x＝yは成立しないで合ってますか？？

カルロス

あなたが底とnをそれぞれどの範囲で考えているのか不明ですが、正しい場合もあります。

例えばxとyが実数でnが奇数なら

xⁿ=yⁿ ⇒ x=y

は正しいです。

偶数なら正しくないです。

あなたの質問「両辺n乗⇒x＝yは成立しないで合ってますか？」の意味が

「どんな場合でも必ず成立するわけではない」
という意味なら合ってます。

はとぽっぽ

なるほど！！親切にありがとうございます！教えていただいたことから考えると
x,yが実数で
n奇数のとき
xⁿ＝yⁿ⇔x＝y
n偶数のとき
xⁿ＝yⁿ⇔x＝±y
が成り立つと思ったのですが合ってますか??

カルロス

合ってます。