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難易度 ★★★
目標解答時間 15 分
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90 60
花子さんの住んでいる町内で毎年行われているクリスマス会では、参加者全員にスナック菓子を1
袋ずつ配ることになっている。 今年は、花子さんがスナック菓子を買うことになり, 1年前のクリス
マス会を知っている人に話を聞いた。
1年前は,参加者は30人で, スナック菓子は, 3袋入りの箱と7袋入りの箱の2種類が売られていた。
3袋入りをa箱,7袋入りを6箱買うと、30人全員に1袋ずつ残さず配ることができたという。ただし,
はともに0以上の整数とする。このことから
アイ
3a+76
が成り立ち、①を満たす a, bの組(a,b) は, (a,b)=(ウェ
組だけ存在する。
(1) 花子さんは,参加者が何人であれば,3袋入りと7袋入りの箱をうまく組み合わせて買うことで,
スナック菓子を参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができるかに興味をもった。参加者全員に1
袋ずつ残さず配ることができない場合について考えよう。
THI
3袋入りをx箱,7袋入りを箱買うとする。 ただし,x,yはともに0以上の整数とする。
(i)yが3の倍数のとき、y=31(10以上の整数)と表すと
7
3x+7y=
(x+
ケ
1)
であり, 3x+7yと表される数はコ以上の3の倍数すべてである。
(i)yを3で割った余りが1のとき, y = 3l+1(Zは0以上の整数)と表すと
1
3x+7y=サ
(x+
l + ス + セ (ただし,
>
であり, 3x+7yと表される数は3で割った余りがソロである整数であり, そのうち最小のも
のはタ である。
4
(yを3で割った余りが2のとき, (i), (ii)と同様に考えると, 3x +7y と表される数は3で割っ
た余りがチである整数であり, そのうち最小のものはツテである。
オ
カ
キ
の2
6
個ある。
(i)~(i)より, 3x+7y (x, y はともに0以上の整数)と表されない自然数は全部でト
すなわち, 3袋入りと7袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしても、参加者全員に1
袋ずつ残さず配ることができない参加人数は全部でト通りある。
(2) 今年は別のスナック菓子を買うことにした。 そのスナック菓子は2袋入りの箱, 5袋入りの箱の
2種類が売られており、中身のパッケージのデザインも異なっていたため, クリスマス会を盛り上
げるため,2袋入り 5袋入りのどちらも1箱以上買うことになった。
このとき2袋入りと5袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしても、スナック菓子を
(配点20)
参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができない最大の参加人数はナニ人である。
10
【公式・解法集 48
整数の性質
