Question

ひかる

数1の集合と命題からです。
次の命題を証明せよ、という問題で
(１)で、｢n²が偶数ならばnは偶数である。｣が真であることを証明して、
(２)で(１)を利用して‪√‬2が無理数であることを証明する問題です。
(１)はできたのですが(２)がどうしてそうなるのか分かりません。
教えてください。お願いします。
写真は回答です。

コ
教
7
7
10.
次の命題を証明せよ。
(1) nを整数とする。
n²が偶数ならば、n は偶数である。 ⑤
命題の対偶な
nは奇数である
n=2k+1 (
^²=(2x+1)²
= 42²+46+1
=2(22+2)+1.
a,bを用いて表すと
5. å
は奇数である
定数)とすると
(2)
(1) を利用して、 √2が無理数であることを証明せよ。 ⑤
「無理数でない、すなわち有理数であるとすると
外に正の約数をもたない2つの自然数
①に②を代表する
b2=202
にもつため
かは奇数である
対偶は真より
もとの命題填である
a= Eb
A² = 26².0
ここでスポートは運営
・①
aは偶数ならば、ひも偶数である
よってGを自然数Cを用いて
Q:2c と表せれる
jadに偶数よりも偶数である。
aとbに偶数であるため1は以外に2を公約数
1=矛盾する
したがって「は無理数である。
40

集合と命題

Answer 1

✨ Best Answer ✨

mi-

(2)の具体的にどのあたりでしょうか？

ひかる

1以外に正の公約数を持たない2つの自然数a、bは奇数だと思うんですけど、そこでなんで急に偶数になるのですか？もし偶数だったらという意味ですか？
あと、1以外に2を公約数に持つため‪√‬2=a/bは矛盾するのところがよくわかりません。最初の1以外に正の公約数を持たない2つの自然数a、bを用いて表すとの時点で矛盾してると思ったのですが……
すみません、よろしくお願いします

mi-

1以外に正の公約数を持たない2つの自然数a、bは奇数だと思うんですけど、そこでなんで急に偶数になるのですか？
→2×b^2と表されたということは2がかかっているので必ずa^2は偶数でなければイコールが保たれないのです。

1以外に2を公約数に持つため‪√‬2=a/bは矛盾するのところがよくわかりません。最初の1以外に正の公約数を持たない2つの自然数a、bを用いて表すとの時点で矛盾してると思ったのですが……
→最初で矛盾していていいのです。そもそも背理法は間違った仮定を立てそれが矛盾すると言いたいので…
ただ√2が分数であるからa/bと表されないと書いても根拠がないので解答のように変形をほどこして数学的に矛盾を導きます。
もしまだわからないところがありましたら、質問してください。

ひかる

本当にありがとうございます
理解しました
ここまで丁寧に教えてくださりありがとうございました!