Question

あ

コーシーシュワルツの不等式について
「実数x,y,zはx+y+2z=1,x^2+y^2+z^2=1をともに満たす。このとき、zの取りうる範囲を求めよ。」
この問題について、 「ベクトル(x,y,z)とベクトル(1,1,1)について、コーシーシュワルツの不等式より、
-√3≦x+y+z≦√3、条件より、x+y+z=1-z だから、不等式に代入して、1-√3≦z≦1+√3
」と求めてみたのですが、解答を見ると間違っていました。
このような計算がなぜ成り立たないのでしょうか？