Question

シナモンロール

お願いします🙇‍♀️

12 <3 変数の式の最大・最小の応用> x,y,zは実数でx+y+z=1, 3x²-yz=2のとき、xの
□とりうる値の範囲は (ア) ≦x≦[(イ)である。 したがって, xy+yz + zx は x = (ウ) のと
き, 最小値 (エ) をとる。 景品文化大〉
IMNES (7).
x
(1).....

Answer 1

えだまめ🫛

y+z = 1-x , yz = 3x²-2

y²+z²
= (y+z)² - 2yz
= (1-x)² -2(3x²-2)
= -5x²-2x+5

y²+z² ≧ 0 より　
-5x²-2x+5 ≧ 0

解の公式より　
-{2±√(4+100)/10 = -(1±√26)/5

よって　-(1+√26)/5 ≦ x ≦ -(1-√26)/5🫛

xy + yz + zxをxのみの式に変換して
平方完成すると

xy + yz + zx
= x(y+z) + yz
= x(1-x) + 3x²-2
= 2x²+x-2
= 2(x+1/4)²-17/8

よって　x = -1/4 のとき　最小値-17/8🫛

Answer 2

きらうる

わからないところがあれば追記してください

きらうる

最後平方完成を間違えてます、すみません。

y＝2x²+x-2
　＝2(x²+1/2x)-2
　＝2(x²+1/2x+1/16)-1/8-2
　＝2(x+1/4)²-17/8
よって最小値は、x＝-1/4のとき-17/8