Question

Keisuke Honda

f(x)は連続な関数　と何故書いてあるのですか？

重要 例題 152 置換積分法を利用した定積分の等式の証明
f(x) は連続な関数, αは正の定数とする。
(1) 等式 Sof(x)dx=Sof(a-x)dx を証明せよ。
ex
(2)(1)の等式を利用して,定積分 Sox fea-xdx を求めよ。
基本 148 重要 153
指針 (1) a-x=t とおくと、置換積分法により証明できる。 なお,定積分の値は積分変数
の文字に無関係である。すなわち Sof(x)dx = Sof(t)dtに注意。
(2) f(x)=-
ex
extea-x
とすると,f(a-x)=
ea-x
ea-xtex
でありf(x)+f(a-x) = 1
このことと (1) の等式を利用して方程式を作る。
(1) α-x=t とおくと x=a-t
解答
ゆえに dx=-dt
x と tの対応は右のようになる。
x
0 →a
t
a → 0
f(x)dx=(左辺) total
a
(2)=Sox とし,f(x)=afeとする。(1)の
ex e a-x dx
よって (右辺)=Sof(a-x)dx=Sof(t) (-dt)=Sos(t)dt-S' f(x)dx
ると
ex
=Sf(x)dx
B定積分の値は積分
ex
変数の文字に無関係。
extea-x
等式 Sof(x)dx=Sof(a-x)dx から I=Sf(a-x)dx
また
f(x)+f(a-x)=-
ex
ea-x
(1)(2)の問題
結果の利用
+
extea-x
ea-x+ex
ゆえに
f(x)+f(a-x)=1
よって Sof(x)dx+S,s(a-x)dx=Sdx
extea-x
extea-x
·=1
<fidx は Sdx と書く。
ゆえに
I+I=a
したがって
a
◄Sdx= [x]=a
ペアを考えて利用する
検討(2)の解答では,(1)で示した等式Şf(x)dx=S。f(a-x)dx と関係式f(x)+f(a-x)=1の
力を借りて, 求めにくいf(x)=-
ex
ex+ea-x
の定積分を求めた。このように,f(x) だけでは
扱いにくくても,f(x) f(a-x) のペアを作ると扱いやすくなる場合があることを覚え
ておくとよい。
練習
(1) 演

置換積分法

Answer 1

さい先生

使わない条件はない！はずなんですが、この問題では「連続」ってことを解答の中で使っていませんよね。
ときどき、大前提としてこうだって書かれる条件があって、解答で使わないものが混ざることがあります。
今回の問題もそんな感じ。
「閉区間で連続であれば積分可能」ってのがあるんです。
逆に閉区間で不連続な関数があった場合、積分できないことがあります。
「連続性」をうたうことによって、左辺も右辺もいつでも定積分していいよっていう土台をつくっている条件だと思ってもらったら良いですよ。